Question

20．在星球表面發(fā)射探測器，當發(fā)射速度為v時，探測器可繞星球做勻速圓周運動；當發(fā)射速度達到$\sqrt{2}$v時，可擺脫星球引力束縛脫離該星球，己知地球、火星兩星球的質量比約為10：1，半徑比約為2：1，下列說法正確的有（　�。�

• A． 探測器在地球表面受到的引力比在火星表面的小
• B． 探測器在地球表面做勻速圓周運動的周期比在火星表面的小
• C． 探測器脫離地球所需要的發(fā)射速度比脫離火星的發(fā)射速度小
• D． 探測器脫離星球的過程中引力勢能逐漸變小

Answer 1

分析 根據萬有引力定律比較探測器在火星表面和在地球表面的引力大小，根據萬有引力提供向心力得出各自周期的表達式，比較即可，${v}_{發(fā)射}^{\;}=\sqrt{2}v$，根據$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，求出繞火星和繞地球的運行速度大小關系，從而得到發(fā)射速度大小關系，高度越大勢能越大．

解答 解：A、探測器繞星球表面做勻速圓周運動的向心力由星球對它的萬有引力提供，設星球質量為M，探測器質量為m，運行軌道半徑為r，星球半徑為R，根據萬有引力定律有：$F=G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$，在星球表面時r=R，所以探測器在地球表面和火星表面受到的引力之比為：$\frac{{F}_{地}^{\;}}{{F}_{火}^{\;}}=\frac{G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}}{G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{10}{1}（\frac{1}{2}）_{\;}^{2}$=$\frac{5}{2}$，所以探測器在地球表面受到的引力比在火星表面的大，故A錯誤．
B、探測器繞地球勻速圓周運動的周期${T}_{地}^{\;}$，繞火星勻速圓周運動的周期${T}_{火}^{\;}$，根據萬有引力提供向心力有
$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{{R}_{地}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{地}^{2}}{R}_{地}^{\;}$…①
$G\frac{{M}_{火}^{\;}m}{{R}_{火}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{火}^{2}}{R}_{火}^{\;}$…②
由①得${T}_{地}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{地}^{3}}{G{M}_{地}^{\;}}}$…③
由②得${T}_{火}^{\;}=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{火}^{3}}{G{M}_{火}^{\;}}}$…④
$\frac{{T}_{地}^{\;}}{{T}_{火}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{地}^{3}}{{R}_{火}^{3}}\frac{{M}_{火}^{\;}}{{M}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{8}{1}\frac{1}{10}}=\sqrt{\frac{4}{5}}＜1$，故B正確．
C、根據向心力公式有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，與探測器的質量m無關，探測器繞地球表面和繞火星表面做勻速圓周運動的速度大小之比為$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{火}^{\;}}=\sqrt{\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{火}^{\;}}\frac{{R}_{火}^{\;}}{{R}_{地}^{\;}}}=\sqrt{\frac{10}{1}\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，又因為發(fā)射速度達到$\sqrt{2}v$時，探測器可擺脫星球引力束縛脫離該星球，所以探測器脫離地球的發(fā)射速度比脫離火星的發(fā)射速度大，故C錯誤
D、探測器脫離星球的過程中，高度逐漸增大，其勢能逐漸增大，故D錯誤
故選：B

點評 對于衛(wèi)星類型，關鍵是建立模型，向心力是由萬有引力提供，向心力根據條件選擇合適的公式，注意在天體表面意味著軌道半徑等于該天體的半徑．