Question

（2009?湛江二模）如圖甲所示，一質(zhì)量為M=2kg的長(zhǎng)木板B靜止于光滑水平面上，B的右邊放有豎直擋板．小物體A（可視為質(zhì)點(diǎn)）和小球的質(zhì)量均為m=1kg，小球用長(zhǎng)為H=1.8m的輕繩懸掛在O點(diǎn)．將輕繩拉直至水平位置后靜止釋放小球，與小物體A發(fā)生完全彈性碰撞且速度互換．已知A和B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，B與豎直擋板的碰撞時(shí)間極短，且碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失．重力加速度取g=10m/s²．
（1）若A、B達(dá)到共同速度前并未碰到擋板，則B的右端距擋板的距離s至少多長(zhǎng)？
（2）若B的右端距擋板距離s=0.5m，要使A最終不脫離B，則木板B的長(zhǎng)度至少多長(zhǎng)？
（保留三位有效數(shù)字）
（3）取B向右運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎�．A在B上開始運(yùn)動(dòng)時(shí)記為t=0時(shí)刻，請(qǐng)?jiān)趫D乙的坐標(biāo)紙上畫出B運(yùn)動(dòng)3s內(nèi)的速度一時(shí)間圖象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球與A碰撞前速度，由于小球與A的質(zhì)量相同，發(fā)生彈性碰撞后速度交換，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出共同速度，進(jìn)而求出B的位移和加速度；
（2）分析AB的運(yùn)動(dòng)情況，由運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式、動(dòng)量守恒定律及功能關(guān)系求出相對(duì)位移，從而求出木板B的最小長(zhǎng)度；
（3）分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出B各段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間、位移、速度，從而畫出圖象．

解答：解：（1）設(shè)小球與A碰撞前速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律有：
mgH=

1

2

mv02
解得：v₀=6m/s
由于小球與A的質(zhì)量相同，發(fā)生彈性碰撞后速度交換
設(shè)AB達(dá)到共同速度u前并未碰到擋板，則根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（M+m）u
解得：u=2m/s
在這一過(guò)程中，B的位移為sB=

u2

2aB

，B的加速度大小為aB=

μmg

M

解得：sB=

Mu2

2μmg

=

2×22

2×0.2×1×10

m=2m
（2）因B離豎直擋板的距離s=0.5m＜2m，所以碰到擋板時(shí)，AB未達(dá)到相對(duì)靜止，設(shè)此時(shí)B的速度為v_B，
由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)得：vB2=2aBs=

2μmgs

M

解得：v_B=1m/s
設(shè)此時(shí)A的速度為v_A，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=Mv_B+mv_A
解得v_A=4m/s
設(shè)在這一過(guò)程中，AB發(fā)生的相對(duì)位移為s′₁，由功能關(guān)系有：
μmgs′₁=

1

2

mv02-

1

2

mvA2-

1

2

MvB2
解得：s′₁=4.5m
B碰撞擋板后，AB最終達(dá)到向右的相同速度v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv_A-Mv_B=（M+m）v
解得：v=

2

3

m/s
在這一過(guò)程中，AB發(fā)生的相對(duì)位移s′₂，由功能關(guān)系得：
μmgs′₂=

1

2

mvA2+

1

2

MvB2-

1

2

(M+m)v 2
解得：s′2=

25

6

m
B再次碰到擋板后，AB最終以相同速度v′向左共同運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
Mv-mv=（M+m）v′
解得；v′=

2

9

m/s
在這一過(guò)程中，AB發(fā)生的相對(duì)位移s′₃，由功能關(guān)系得：
μmgs′₃=

1

2

(M+m)v 2-

1

2

(M+m)v′2
解得s′₃=

8

27

m
因此，為使A不從B上脫落，B的最小長(zhǎng)度為：
L=s′₁+s′₂+s′₃=8.96m
（3）設(shè)B第一次到達(dá)擋板的時(shí)間為t₁
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v_B=a_Bt₁，解得t₁=1s
B第一次碰撞后以v_B=1m/s向左運(yùn)動(dòng)，加速度大小不變，由對(duì)稱性可知，t=2s時(shí)，B的速度為0，又回到出發(fā)點(diǎn)
設(shè)再經(jīng)過(guò)時(shí)間△T₁，B與A具有相同的速度v=

2

3

m/s
即△T₁=

2

3

s
此時(shí)B向右運(yùn)動(dòng)的位移為△s1=

1

2

a_B△T12=0.22m
B以速度v=

2

3

m/s與A一起向右做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為△T2=(3-2-

2

3

)=

1

3

s
在△T₂內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移為△s₂=v△T₂=0.22m
因△s₁+△s₂＜0.5m，可見在3s內(nèi)B仍沒(méi)有與擋板發(fā)生第二次碰撞
圖象如圖所示
答：（1）若A、B達(dá)到共同速度前并未碰到擋板，則B的右端距擋板的距離s至少2m；
（2）若B的右端距擋板距離s=0.5m，要使A最終不脫離B，則木板B的長(zhǎng)度至少8.96m；
（3）B運(yùn)動(dòng)3s內(nèi)的速度一時(shí)間圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式、動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能分析清楚AB的運(yùn)動(dòng)情況，過(guò)程較為復(fù)雜，難度較大．