Question

19．如圖所示，在傾角為37度的斜面上有無限長的兩條平行光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距0.5m，導(dǎo)軌的上端接有阻值為R=0.8Ω的電阻和一電容為C=0.5F的電容器，磁感強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，一質(zhì)量為m=0.5kg，電阻r=0.2Ω的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置，開始時斷開開關(guān)S，將桿由靜止自由釋放．（Sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）求金屬桿下滑的最大速度？
（2）若桿由靜止下滑到速度最大的這段時間內(nèi)通過桿的電荷量為2C，則在這段時間內(nèi)電阻R上產(chǎn)生的熱量？
（3）若在由靜止釋放桿的同時閉合開關(guān)，經(jīng)過一段時間桿達(dá)到最大速度，這一過程中通過R的電荷量為5.76C，則這段時間為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)桿下滑到最大速度時桿處于平衡狀態(tài)，根據(jù)導(dǎo)體棒切割磁感線時感應(yīng)電動勢的計(jì)算公式、閉合電路歐姆定律、安培力的計(jì)算公式和物體平衡條件即可求出最大速度；
（2）根據(jù)某一過程中通過桿的電荷量計(jì)算公式q=$\frac{△Φ}{R+r}$可求解出桿從靜止下滑到最大速度的過程中沿斜面下滑的距離x，根據(jù)能量守恒定律可求解出電路中產(chǎn)生的焦耳熱進(jìn)而可以求解出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）開關(guān)閉合后桿的最大速度不變，即桿到達(dá)最大速度后感應(yīng)電動勢E不變，結(jié)合通過電阻R的電荷量計(jì)算公式、電容器電容的定義式可求得通過桿的電荷量，由動量定理可求得時間t

解答 解：（1）設(shè)桿勻速運(yùn)動時的速度為v，取桿為研究對象，則有：
E=BLv…①
I=$\frac{E}{R+r}$…②
F_安=BIL…③
由平衡條件得：
mgsinθ-F_安=0…④
由①②③④帶入數(shù)據(jù)解得：v=3m/s
（2）設(shè)這段時間內(nèi)，沿導(dǎo)軌方向?qū)�體棒移動的距離為x，則有：
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$
${\overline{I}}_{1}=\frac{\overline{E}}{R+r}=\frac{BLx}{（R+r）△t}$
q₁=$\overline{I}$₁△t=$\frac{BLx}{R+r}$
所以：x=$\frac{{q}_{1}（R+r）}{BL}$=2m
設(shè)電路中產(chǎn)生的總熱量為Q，由能量守恒定律得：
mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}$mv²
電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q
解得：Q=3.75J、Q_R=3J
（3）開關(guān)閉合后桿的最大速度不變，即桿到達(dá)最大速度后感應(yīng)電動勢E不變，設(shè)這一過程所需時間為t，平均電流為$\overline{I}$，流過桿的總電荷量為Q，由動量定理得：
mgtsinθ-B$\overline{I}$Lt=mv
Q=$\overline{I}$t
Q=q+UC
解得：mgtsinθ=BLQ+mv
代入數(shù)據(jù)得：t=2.82s
答：（1）求金屬桿下滑的最大速度為3m/s
（2）電阻R上產(chǎn)生的熱量為3J
（3）這段時間為2.82s

點(diǎn)評 （1）本題考查了法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律、安培力的計(jì)算、能量守恒定律和動量定理
（2）根據(jù)能量守恒定律計(jì)算電路中產(chǎn)生的焦耳熱是常用方法
（3）靈活引用動量定理是解決第三問的關(guān)鍵