Question

12．雪橇運(yùn)動(dòng)在北方很受人們歡迎，其簡(jiǎn)化模型如圖所示．傾角θ=37°的直線雪道AB與曲線雪道BCDE在B點(diǎn)平滑連接，其中A、E兩點(diǎn)在同一水平面上，雪道最高點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的圓弧半徑R=10m，B、C兩點(diǎn)距離水平面AE的高度分別為h₁=18m、h₂=18.1m，雪橇與雪道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1．游客可坐在電動(dòng)雪橇上由A點(diǎn)從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)．若電動(dòng)雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s時(shí)間后自動(dòng)關(guān)閉，則雪橇和游客（總質(zhì)量M=50kg）到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度v_C=1m/s，到達(dá)E點(diǎn)時(shí)的速度v_E=9m/s．已知雪橇運(yùn)動(dòng)過程中不脫離雪道，sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s²．
（1）求雪橇在C點(diǎn)時(shí)對(duì)雪道的壓力；
（2）求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）求雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能；
（4）若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道（如圖中虛線所示），則雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能將增加還是減少？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析 （1）選雪橇和游客的整體為研究對(duì)象，對(duì)其運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律即可求出雪橇在C點(diǎn)時(shí)對(duì)雪道的壓力；
（2）從A到C對(duì)雪橇和游客的整體運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功；
（3）對(duì)整體從C到E運(yùn)用動(dòng)能定理，求出摩擦力做功，根據(jù)功能原理即可求出C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能；
（4）運(yùn)用微積分思想求出曲線軌道上摩擦力做功，與傾斜直線軌道上摩擦力做功做比較，即可判斷雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失機(jī)械能的情況．

解答 解：（1）設(shè)C點(diǎn)軌道對(duì)雪橇的支持力為N_C，根據(jù)牛頓第二定律可得：N_C-Mg=M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：N_C=Mg+M$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=50×10+50×$\frac{{1}^{2}}{10}$N=505N
根據(jù)牛頓第三定律可得，雪橇在C點(diǎn)時(shí)對(duì)雪道的壓力：N_C′=N_C=505N
（2）設(shè)雪橇在BC段克服摩擦力做的功為W_BC，
從A到C對(duì)雪橇和游客的整體運(yùn)用動(dòng)能定理可得：Pt-Mgh₂-μMg•$\frac{{h}_{1}}{sinθ}$•cosθ-W_BC=$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
解得：W_BC=25J
（3）對(duì)整體從C到E運(yùn)用動(dòng)能定理可得：Mgh₂-W_CE=$\frac{1}{2}M{v}_{E}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{C}^{2}$
從C到E克服摩擦力做功：W_CE=7050J
所以整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能：W_損=W_CE=7050J
（4）設(shè)D到E的水平距離為L(zhǎng)，
平滑連接的傾斜直線軌道傾角為θ，摩擦力做功：W_f1=-μmgcosθ•$\frac{L}{cosθ}$=μmgL

曲線軌道上任選極短一段如圖所示，將這一小段近似看成傾角為α的傾斜直線軌道，該端軌道在水平方向上的投影長(zhǎng)為△x，
則摩擦力在該段軌道上做功：W_f=-μmgcosα•△x$\frac{1}{cosα}$=μmg△x
所以整個(gè)曲線軌道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，即：W_f2=-μmg∑△x=μmgL
故兩軌道的摩擦力做功相同：W_f1=W_f2=△E_損
所以雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能相同．
答：（1）雪橇在C點(diǎn)時(shí)對(duì)雪道的壓力為505N；
（2）雪橇在BC段克服摩擦力做的功為25J；
（3）雪橇和人的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能為7050J；
（4）若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道，則雪橇從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能不變，證明過程見解析．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是要分好過程，明確每一個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)形式，選擇合適的規(guī)律解決問題，注意運(yùn)用W=Pt去求解功率恒定的變力做功；注意理解體會(huì)第（3）問中運(yùn)用的微積分思想．