Question

16．某行星半徑為R，沒有自轉，表面也沒有氣體．宇航員在表面用長為L的細線豎直懸掛一個質量m的小球，給小球一個水平初速度v₀時，小球擺動剛好將細線拉斷并做平拋運動．如圖，測得小球平拋運動的豎直位移h和水平位移s，已知萬有引力恒量為G，根據(jù)以上信息，求：
（1）該星球表面的重力加速度大小為多少？
（2）細線所能承受的最大拉力多大？
（3）該行星的質量多大？

Answer 1

分析 細線拉斷后做平拋運動，在水平方向上s=v₀t，在豎直方向上$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，由此二式可以解得星球表面的重力加速度．
小球受到的細線的拉力和繩子的重力的合力提供向心力T-mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，據(jù)此可以解得最大的拉力．
在行星表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，化簡可得星球的質量．

解答 解：（1）細線拉斷后做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律，小球在水平方向上做勻速直線運動，豎直線方向上做自由落體運動．
在水平方向上，s=v₀t
所以運動的時間為t=$\frac{s}{{v}_{0}}$
在豎直方向上，$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
所以該星球表面的重力加速度大小為$g=\frac{2h}{{t}^{2}}$=$\frac{2h}{（{\frac{s}{{v}_{0}}）}^{2}}$=$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{s}^{2}}$
（2）對小球受力分析，在細線剛要斷裂的瞬間，小球受到的細線的拉力和繩子的重力的合力提供向心力，即T-mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
所以${T}_{m}=mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$
（3）在行星表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
所以該行星的質量為$M=\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{{Gs}^{2}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度大小為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{s}^{2}}$；
（2）細線所能承受的最大拉力為$mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$；
（3）該行星的質量為$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{{Gs}^{2}}$

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．運用平拋運動規(guī)律求出小球從拋出到落地的時間和星球表面重力加速度．根據(jù)萬有引力等于重力列出等式求解天體質量．