Question

如圖所示，正三角形ACD是一用絕緣材料制成的固定柜架，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，在框架外是范圍足夠?qū)挼膭驈?qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向里，ACD可視為磁場(chǎng)的理想內(nèi)邊界，在框架內(nèi)有一對(duì)帶電平行極板M、N，M板的中點(diǎn)K處有一粒子源，能夠產(chǎn)生速度為零、質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子，粒子重力不計(jì)，帶電粒子經(jīng)兩極板間的電場(chǎng)加速后從CD邊中心的小孔S垂直于CD邊射入磁場(chǎng)，若這些粒子與框架碰撞時(shí)無(wú)能量損失，且每一次碰撞時(shí)速度方向均垂直于被碰的邊框，要使粒子在最短的時(shí)間內(nèi)回到小孔S，求：
（1）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，并畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向；
（2）兩極板M、N間的電壓；
（3）粒子回到小孔S的最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，與框架碰撞后速度方向均垂直于框架，根據(jù)幾何關(guān)系可以判斷粒子最短時(shí)間內(nèi)回到小孔的軌跡，根據(jù)洛倫茲力的方向判斷粒子繞行方向；
（2）根據(jù)（1）中的粒子半徑，利用洛倫茲力提供向心力和在電場(chǎng)中加速的動(dòng)能定理進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）粒子在每次撞擊中的時(shí)間t=

θ

2π

T，根據(jù)幾何關(guān)系有

θ

2π

=

5

6

，所以粒子回到s與框架撞擊3次，可以計(jì)算出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與邊框垂直碰撞后要重新回到S，
由幾何關(guān)系可知，A、C、D三點(diǎn)必為圓軌道的圓心，要使粒子回到S的時(shí)間最短，圓軌道半徑R=

L

2

根據(jù)磁場(chǎng)方向和粒子所帶電荷判斷粒子運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向如下圖所示：

（2）因?yàn)榱Ｗ釉诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R=

L

2

，根據(jù)半徑公式有：
R=

mv

qB

=

L

2

得：v=

qBL

2m

            ①
所以粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理，電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的變化有：
qU=

1

2

mv2-0          ②
將①代入②得：U=

qB2L2

8m

（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，如軌跡圖所示，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t=3×

5

6

T=

5πm

qB

答：（1）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R=

L

2

，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡和繞行方向如上圖所示；
（2）兩極板M、N間的電壓U=

qB2L2

8m

；
（3）粒子回到小孔S的最短時(shí)間t=

5πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑、周期的表達(dá)式，根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡；粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)滿足動(dòng)能定理，即電場(chǎng)力做功等于粒子動(dòng)能的變化，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間計(jì)算式t=

θ

2π

T求粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．