Question

如圖所示，在半徑為i的圓形區(qū)域中存在垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng).在圓形區(qū)域中固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為a的剛性等邊三角 形框架DEF，其中心位于圓心O上DE邊上中點(diǎn)S處有一粒子源，可沿垂直于DE邊向下，以不同速率發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q的正電粒子.若這些粒子與三角形框架發(fā)生碰撞時(shí)，粒子速度方向均垂直于被碰的邊并以原速率返回、電荷量不變，不考慮粒子間相互作用及 重力,求：

(1)帶電粒子速度v的大小取哪些數(shù)值時(shí)，可使S點(diǎn)發(fā)出的粒 子最終又回到S點(diǎn)？

(2)  這些粒子中，回到S點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？

Answer 1

解：（1）帶電粒子從點(diǎn)垂直于邊以速度射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于邊上，其半徑可由①  (2分)

求得   (1分)

要求此粒子每次與的三條邊碰撞時(shí)都與邊垂直，且能回到點(diǎn)，則和應(yīng)滿足以下條件：

由于碰撞時(shí)速度與邊垂直，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圓的圓心一定位于的邊上，粒子繞過(guò)頂點(diǎn)、、時(shí)的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點(diǎn)（即、、）上．粒子從點(diǎn)開始向右作圓周運(yùn)動(dòng)，其軌跡為一系列半徑為的半圓，在邊上最后一次的碰撞點(diǎn)與點(diǎn)的距離應(yīng)為，所以的長(zhǎng)度應(yīng)是的奇數(shù)倍。即

   n=0,1,2,3…… ②      (2分)

由幾何關(guān)系得： ③      (2分)

延長(zhǎng)OE至圓形區(qū)域交于M，EM=1.1a -OE=0.1a  (1分)                   

若使粒子不射出磁場(chǎng)，有R0.1 a  ④          (1分)

由②④  解得     n3.83  即n=4,5,6……     (1分)

由①②  解得      (1分)

（2）這些粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為   ⑤    (2分)

在及給定時(shí)與無(wú)關(guān)。粒子從點(diǎn)出發(fā)最后回到點(diǎn)的過(guò)程中，與的邊碰撞次數(shù)愈少，所經(jīng)歷的時(shí)間就愈少，可見，當(dāng)時(shí)(1分), 所用時(shí)間最短。

如圖所示（圖中只畫出SE間的碰撞情況），由對(duì)稱性可知該粒子的軌跡包括3×8個(gè)半圓和3個(gè)圓心角為300°的圓弧，所需時(shí)間為：    ⑥   (3分)

將⑤式代入得：    (2分)