Question

如圖甲所示，質(zhì)量和電荷量均相同的帶正電的粒子連續(xù)從小孔O₁進(jìn)入電壓U₀=50V的加速電場區(qū)（初速度可忽略不計(jì)），加速后由小孔O₂沿豎直放置的平行金屬板ab中心線射入金屬板間的勻強(qiáng)電場區(qū)，然后再進(jìn)入平行金屬板a、b下面的勻強(qiáng)磁場區(qū)，最后打到感光片上．已知平行金屬板a、b間的距離d=0.15m，兩板間的電壓U隨時(shí)間t變化的隨時(shí)間變化的U-t圖線圖線如圖乙所示，且a板電勢高于b板電勢．磁場的上邊界MN與金屬板ab下端相平，且與O₁、O₂連線垂直，交點(diǎn)為O，磁場沿水平方向，且與a、b板間的電場方向垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2 T．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場區(qū)運(yùn)動，最后打在沿MN水平放置的感光片上，打在感光片上形成一條亮線P₁P₂，P₁到O點(diǎn)的距離x₁=0.15m，P₂到O點(diǎn)的距離 x₂=0.20m．電場區(qū)可認(rèn)為只存在于金屬板間，帶電粒子通過電場區(qū)的時(shí)間極短，可以認(rèn)為粒子在這一運(yùn)動過程中平行金屬板a、b間的電壓不變，不計(jì)粒子受到的重力和粒子間的相互作用力．

（1）已知t=0時(shí)刻進(jìn)入平行金屬板a、b間的帶電粒子打在感光片上的P₂點(diǎn)，求帶電粒子的比荷q/m；（保留兩位有效數(shù)字）
（2）對任何時(shí)刻射入平行金屬板a、b間的帶電粒子，證明其射入磁場時(shí)的入射點(diǎn)和打到感光片上的位置之間的距離△x為定值；
（3）設(shè)打到P₁點(diǎn)的帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₁，打到P₂點(diǎn)的帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t₂，則兩時(shí)間之差（△t=t₁-t₂）為多大？（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理求出粒子離開加速電場時(shí)的速度，再幾何關(guān)系求出粒子在磁場中圓周運(yùn)動的軌道半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解即可；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在偏轉(zhuǎn)電場中偏轉(zhuǎn)后再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動的過程中，找出粒子在電場中偏轉(zhuǎn)和磁場中偏轉(zhuǎn)角度間的關(guān)系然后求解；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出兩種情況下半徑間的距離，根據(jù)類平拋運(yùn)動和做勻速圓周運(yùn)動的時(shí)間求解．

解答：解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過加速電場從小孔O₂射出時(shí)的速度為v₀，則依據(jù)動能定理qU0=

1

2

m

v

2 0

當(dāng)U=0時(shí)，粒子以速度v₀進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動到達(dá)P₂點(diǎn)，軌跡半徑R₀=

x2

2

由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得  qv0B=m

v 2 0

R0

解得帶電粒子的比荷

q

m

=

8U0

B2 x 2 2

=1.0×10⁸ C/kg                         
（2）設(shè)粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與O₁O的夾角為θ，則速度大小v=

v0

cosθ

粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑R=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

由幾何關(guān)系得△x=2Rcosθ=

2mv0

qB

即△x與θ無關(guān)，為定值．                
（3）由（2）可知，帶電粒子在平行金屬板a、b間的最大偏移量y=x₂-x₁=0.05 m，
對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)電壓U=50V                                              
帶電粒子進(jìn)入平行金屬板a、b時(shí)的速度v₀=

2qU0 m

=1.0×10⁵ m/s
設(shè)偏移量最大的帶電粒子離開平行金屬板a、b時(shí)的速度為v，由動能定理q

yU

d

=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得      v=

2 3

3

×105m/s
所帶電粒子離開平行金屬板a、b時(shí)的速度偏轉(zhuǎn)角θ=arccos

v0

v

=

π

6

偏移量最大的在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡對應(yīng)的圓心角α=

4π

3

在磁場中做圓周運(yùn)動的時(shí)間t₁=

2

3

T
當(dāng)電壓為零時(shí)進(jìn)入磁場的帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的時(shí)間t₂=

1

2

T
帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以，△t=t₁-t₂=

1

6

T=

πm

3qB

=1.0×10^-6 s

點(diǎn)評：應(yīng)用動能定理、類平拋運(yùn)動的知識、牛頓定律即可正確解題；本題難度較大，是一道難題．