Question

（2011?南昌模擬）如圖所示，真空中有直角坐標系xOy，P是坐標中的一個點，坐標是（a，-b）．有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的質(zhì)點A從原點O沿y軸正方向以速度v₀射出，不計重力的影響．
（1）若在x≥0和y≥0的區(qū)域內(nèi)加一個垂直于坐標系平面的勻強磁場，使質(zhì)點A能通過P點．試求出磁感應強度B的大小和方向以及質(zhì)點A從坐標原點O運動到P點的時間t；
（2）若在x軸上固定一個帶負電的點電荷C，使質(zhì)點A能保持速率不變，并通過P點．求點電荷C與坐標原點O的距離和點電荷C所帶電荷量的大小，已知靜電力常量為k．

Answer 1

分析：（1）質(zhì)點進入勻強磁場后，受到洛倫茲力，做勻速圓周運動，畫出軌跡，由幾何知識求出半徑，由牛頓第二定律求出磁感應強度B的大小．由左手定則判斷B的方向．根據(jù)時間與周期的關系求出質(zhì)點在磁場中運動的時間．質(zhì)點進入第四象限后，做勻速直線運動，由位移與速度求出時間，再求總時間．
（2）洛倫茲力不做功，不能改變質(zhì)點的速度大小．由題，使質(zhì)點A能保持速率不變，質(zhì)點應以點電荷C為圓心做勻速圓周運動，由幾何知識求出半徑．質(zhì)點由庫侖力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解點電荷C所帶電荷量的大�。�

解答：解：
（1）在勻強磁場中，質(zhì)點A做勻速圓周運動，半徑R=

a

2

又有qv₀B=m

v 2 0

R

，解得B=

2mv0

qa

，磁感應強度方向垂直紙面向外
在勻強磁場中的周期為T=

2πm

qB

=

πa

v0

運動時間為t1=

T

2

=

πa

2v0

質(zhì)點A出勻速磁場后做勻速直線運動，運動時間為t2=

b

v0

則總時間t=t₁+t₂=

πa+2b

2v0

（2）應以帶電的點電荷C為圓心做勻速圓周運動，設半徑為r，有
  （a-r）²+b²=r²
解得，r=

a2+b2

2a

故點電荷C與坐標原點O的距離為

a2+b2

2a

．
又有k

Qq

r2

=m

v 2 0

r

聯(lián)立解得Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

答：
（1）磁感應強度B=

2mv0

qa

，磁感應強度方向垂直紙面向外．質(zhì)點A從坐標原點O運動到P點的時間t=

πa+2b

2v0

；
（2）點電荷C與坐標原點O的距離為

a2+b2

2a

，點電荷C所帶電荷量的大小Q=

(a2+b2)m v 2 0

2kaq

．

點評：本題是磁場中圓周運動與電場中圓周運動的比較，原理相同：分析受力，確定向心力的來源．根據(jù)幾何知識求軌跡半徑是關鍵．