Question

19．如圖所示，水平光滑軌道AB與豎直半圓形光滑軌道BC在B點(diǎn)平滑連接，半圓形軌道半徑為R，AB段長(zhǎng)為4R，質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在水平恒力F作用下，從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)B點(diǎn)時(shí)撤去力F，小滑塊進(jìn)入半圓形軌道，沿軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C，從C點(diǎn)水平飛出．重力加速度為g．求：
（1）若小滑塊從C點(diǎn)水平飛出后又恰好落在A點(diǎn)．
①滑塊通過(guò) C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
②滑塊剛進(jìn)入半圓形軌道時(shí)，在B點(diǎn)對(duì)圓軌道壓力的大��；
（2）如果要使小滑塊能夠通過(guò)C點(diǎn)，求水平恒力F應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）①由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)位移公式求得速度；②根據(jù)在B到C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒求得B點(diǎn)的速度，再由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得滑塊能通過(guò)C點(diǎn)，在C點(diǎn)的速度；然后對(duì)從A到C應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得F．

解答 解：（1）①設(shè)滑塊從C點(diǎn)飛出時(shí)的速度為v_C，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為t，滑塊從C點(diǎn)飛出后，做平拋運(yùn)動(dòng)，
故在豎直方向上有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
在水平方向上有：4R=v_Ct；
所以有：${v}_{C}=\frac{4R}{t}=\frac{4R}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=2\sqrt{gR}$；
②滑塊在光滑軌道上運(yùn)動(dòng)，只有重力做功，故機(jī)械能守恒，設(shè)滑塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=4mgR$，
設(shè)滑塊在B點(diǎn)受軌道的支持力為F_N，根據(jù)牛頓第二定律可得：
${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=9mg$；
依據(jù)牛頓第三定律，滑塊在B點(diǎn)對(duì)軌道的壓力為：F_N′=F_N=9mg；
（2）要使小滑塊能夠通過(guò)C點(diǎn)，那么滑塊在C點(diǎn)的向心力不小于重力，設(shè)滑塊在C點(diǎn)的速度為v_C′，則有：$\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{R}≥mg$；
又有滑塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程中只有拉力F和重力做功，故由動(dòng)能定理可得：$F•4R-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$；
所以，$F≥\frac{5}{8}mg$；
答：（1）若小滑塊從C點(diǎn)水平飛出后又恰好落在A點(diǎn)．
①滑塊通過(guò) C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$2\sqrt{gR}$；
②滑塊剛進(jìn)入半圓形軌道時(shí)，在B點(diǎn)對(duì)圓軌道壓力的大小為9mg；
（2）如果要使小滑塊能夠通過(guò)C點(diǎn)，水平恒力F應(yīng)不小于$\frac{5}{8}mg$．

點(diǎn)評(píng) 物體運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，一般根據(jù)物體受力情況求得合外力，再由牛頓第二定律求得加速度，即可求得物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．