Question

5．已知繞中心天體做勻速圓周運動的星體的軌道半徑r，運動周期為T，
（1）若中心天體的半徑為R，則其平均密度ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（2）若星體在中心天體表面附近做勻速圓周運動，則其平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
（3）已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，如果不考慮地球自轉的影響，用以上各量表示地球的平均密度為$\frac{3g}{4GπR}$．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體質量，再根據(jù)密度公式求得密度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得中心天體的質量，再根據(jù)密度公式求解．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天體的質量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（2）由題意知，第二問r=R，故ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（3）在地球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
據(jù)密度公式有地球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4GπR}$
故答案為：$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，$\frac{3g}{4GπR}$．

點評 解決本題的關鍵是能抓住萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運動向心力來計算中心天體的質量，掌握密度公式和球的體積公式是關鍵．