Question

5．已知繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的星體的軌道半徑r，運(yùn)動(dòng)周期為T，
（1）若中心天體的半徑為R，則其平均密度ρ=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$．
（2）若星體在中心天體表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則其平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$．
（3）已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G，如果不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，用以上各量表示地球的平均密度為$\frac{3g}{4GπR}$．

Answer 1

分析 （1、2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得中心天體質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得密度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得中心天體的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求解．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得中心天體的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$
（2）由題意知，第二問r=R，故ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
（3）在地球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
據(jù)密度公式有地球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4GπR}$
故答案為：$\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，$\frac{3g}{4GπR}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是能抓住萬有引力與重力相等和萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力來計(jì)算中心天體的質(zhì)量，掌握密度公式和球的體積公式是關(guān)鍵．