Question

回旋加速器在核科學(xué)、核技術(shù)、核醫(yī)學(xué)等高新技術(shù)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用,有力地推動(dòng)了現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。

(1)當(dāng)今醫(yī)學(xué)影像診斷設(shè)備PET/CT堪稱“現(xiàn)代醫(yī)學(xué)高科技之冠”,它在醫(yī)療診斷中,常利用能放射正電子的同位素碳11作示蹤原子。碳11是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氮14獲得,同時(shí)還產(chǎn)生另一粒子,試寫出核反應(yīng)方程。若碳11的半衰期τ為20min,經(jīng)2.0h剩余碳11的質(zhì)量占原來(lái)的百分之幾?(結(jié)果取2位有效數(shù)字)

(2)回旋加速器的原理如圖,D₁和D₂是兩個(gè)中空的半徑為R的半圓金屬盒,它們接在電壓一定、頻率為f的交流電源上,位于D₁圓心處的質(zhì)子源A能不斷產(chǎn)生質(zhì)子(初速度可以忽略,重力不計(jì)),它們?cè)趦珊兄�間被電場(chǎng)加速,D₁、D₂置于與盒面垂直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,若質(zhì)子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率為P,求輸出時(shí)質(zhì)子束的等效電流I與P、B、R、f的關(guān)系式(忽略質(zhì)子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,其最大速度遠(yuǎn)小于光速)。

(3)試推理說(shuō)明:質(zhì)子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí),隨軌道半徑r的增大,同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr是增大、減小還是不變?

 

Answer 1

【解題指南】解答本題時(shí)可按以下思路分析:

(1)書寫核反應(yīng)方程時(shí)應(yīng)該注意質(zhì)量數(shù)守恒和核電荷數(shù)守恒,注意理解半衰期的意義。

(2)質(zhì)子在回旋加速器中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為兩部分:一是交變的電場(chǎng)中的加速,二是勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng),然后根據(jù)條件求解。

【解析】(1)核反應(yīng)方程為

NHCHe(2分)

設(shè)碳11原有質(zhì)量為m₀,經(jīng)過(guò)t₁=2.0h剩余的質(zhì)量為m_τ,根據(jù)半衰期定義有

=(=(≈1.6%(1分)

(2)設(shè)質(zhì)子的質(zhì)量為m,電荷量為q,質(zhì)子離開加速器時(shí)速度大小為v,由牛頓第二定律得

qvB=m　(2分)

質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的回旋周期為

T==　(1分)

由回旋加速器原理可知,交流電源的頻率與質(zhì)子回旋頻率相同,由周期T與頻率f的關(guān)系得

f=　(1分)

設(shè)在t時(shí)間內(nèi)離開加速器的質(zhì)子數(shù)為N,則質(zhì)子束從回旋加速器輸出時(shí)的平均功率為

P=　(1分)

輸出時(shí)質(zhì)子束的等效電流為I=

由上述各式聯(lián)立解得:I=�！�(1分)

(3)方法一:

設(shè)k(k∈N)為同一盒中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù),相鄰的軌道半徑分別為r_k、r_k+1(r_k+1>r_k),Δr_k=r_k+1-r_k,在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為v_k、v_k+1,D₁、D₂之間的電壓為U,由動(dòng)能定理知

2qU=m-m　(2分)

由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,知r_k=,則

2qU=(-)　(2分)

整理得Δr_k=　(1分)

因U、q、m、B均為定值,令C=,

由上式得Δr_k=　(2分)

相鄰軌道半徑r_k+1、r_k+2之差

Δr_k+1=r_k+2-r_k+1,

同理得Δr_k+1=　(2分)

因?yàn)閞_k+2>r_k,比較Δr_k、Δr_k+1

得Δr_k+1<Δr_k　(1分)

說(shuō)明隨軌道半徑r的增大,同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr減小�！�(1分)

方法二:

設(shè)k(k∈N)為同一盒中質(zhì)子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù),相鄰的軌道半徑分別為r_k、r_k+1(r_k+1>r_k),Δr_k=r_k+1-r_k,在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為v_k、v_k+1,D₁、D₂之間的電壓為U。

由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力,知

r_k=,　(1分)

故=　(1分)

由動(dòng)能定理知,質(zhì)子每加速一次,其動(dòng)能增量

ΔE_k=qU　(1分)

以質(zhì)子在D₂盒中運(yùn)動(dòng)為例,第k次進(jìn)入D₂時(shí),被電場(chǎng)加速(2k-1)次,速度大小為

v_k=　(1分)

同理,質(zhì)子第(k+1)次進(jìn)入D₂時(shí),速度大小為

v_k+1=　(1分)

綜合上述各式得

=,=

=

Δr_k=　(2分)

同理,對(duì)于相鄰軌道半徑r_k+1、r_k+2,Δr_k+1=r_k+2-r_k+1,整理后有

Δr_k+1=

由于r_k+2>r_k,比較Δr_k、Δr_k+1得

Δr_k+1<Δr_k　(2分)

說(shuō)明隨軌道半徑r的增大,同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr減小。用同樣的方法也可得到質(zhì)子在D₁盒中運(yùn)動(dòng)時(shí)具有相同的結(jié)論�！�(2分)

答案:(1NHCHe　1.6%

(2)I=

(3)見解析