Question

（2010?上高縣模擬）“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星在環(huán)繞月球的極地軌道上運(yùn)動(dòng)，由于月球的自轉(zhuǎn)，因而“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星能探測(cè)到整個(gè)月球表面．2007年12月11日“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星的CCD相機(jī)已對(duì)月球背面進(jìn)行成像探測(cè)，并獲得了月球背面部分區(qū)域的影像圖．衛(wèi)星在繞月極地軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)距月球表面高為H，繞行的周期為T_M；月球繞地公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀；地球半徑為R_E，月球半徑為R_M．
試解答下列問題：
（1）若忽略地球及太陽引力對(duì)繞月衛(wèi)星的影響，試求月球與地球的質(zhì)量之比．
（2）若當(dāng)繞月極地軌道的平面與月球繞地公轉(zhuǎn)的軌道平面垂直，也與地心到月心的連線垂直（如圖所示）時(shí)，探月衛(wèi)星將向地球發(fā)送所拍攝的照片．已知光速為c，則此照片信號(hào)由探月衛(wèi)星傳送到地球最短需要多長時(shí)間？

Answer 1

分析：（1）衛(wèi)星繞月做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由月球的萬有引力提供向心力，知道距月球表面高為H，月球半徑為R_M，繞行的周期為T_M，根據(jù)由牛頓第二定律可求出月球的質(zhì)量．月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)，由地球的萬有引力提供向心力，由月球公轉(zhuǎn)的周期為T_E，半徑為R₀．地球半徑為R_E，根據(jù)由牛頓第二定律可求出地球的質(zhì)量．
（2）根據(jù)幾何知識(shí)求出衛(wèi)星到地面最短距離，再求出時(shí)間．

解答：解：（1）由牛頓第二定律有：F_向=ma_n=m(

2π

T

)2r，由萬有引力定律公式有：
F_引=G

Mm

r2

，
則月球繞地球公轉(zhuǎn)時(shí)由萬有引力提供向心力，故：
G

M月M地

R02

=M月(

2π

TE

)2R0             ①
同理對(duì)探月衛(wèi)星繞月有：
G

M月M衛(wèi)

(RM+H)2

=M衛(wèi)(

2π

TM

)2(RM+H)    ②
由①②聯(lián)立解得：

M月

M衛(wèi)

=(

TE

TM

)2(

RM+H

R0

)3
（2）如圖所示，設(shè)探月極地衛(wèi)星到地心距離為L₀，則衛(wèi)星到地面的最短距離為L₀-R_E，由幾何知識(shí)知：
L02=R02+(RM+H)2           ③
故將照片信號(hào)發(fā)回地面的最短時(shí)間
t=

L0-RE

c

=

R02+(RM+H)2 -RE

c

        ④
答：（1）月球與地球的質(zhì)量之比為(

TE

TM

)2(

RM+H

R0

)3．
（2）此照片信號(hào)由探月衛(wèi)星傳送到地球需要最短的時(shí)間為

R02+(RM+H)2 -RE

c

．

點(diǎn)評(píng)：本題是計(jì)算天體質(zhì)量問題，關(guān)鍵是要能熟練利用萬有引力與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的結(jié)合求解環(huán)繞天體的質(zhì)量，這是常用方法之一．