Question

15．我國火星探測器計(jì)劃于2020年前后由長征五號運(yùn)載火箭在海南發(fā)射場發(fā)射人軌，直接送入地火轉(zhuǎn)移軌道．假設(shè)探測器到了火星附近，貼近火星表面做勻速圓周運(yùn)動，現(xiàn)測出探測器運(yùn)動的周期為T以及運(yùn)行速率為v，不計(jì)周圍其他天體的影響，萬有引力常量為G．
（1）求火星的質(zhì)量；
（2）設(shè)某星球的質(zhì)量為M，一個質(zhì)量為m的物體在離該星球球心r處具有的引力勢能公式為E_P=$\frac{GMm}{r}$（取物體離該星球無窮遠(yuǎn)處勢能為零）．若一顆質(zhì)量為m'的衛(wèi)星繞火星做半徑為r₁的勻速圓周運(yùn)動，后來因?yàn)樾枰�衛(wèi)星的軌道半徑變?yōu)閞₂，且r₁：r₂=1：2，求該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時的機(jī)械能之比．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期與線速度的關(guān)系求出半徑，再根據(jù)萬有引力提供向心力求解火星質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力公式求解星球的動能，根據(jù)引力勢能表達(dá)式求出勢能，進(jìn)而求解機(jī)械能的表達(dá)式，從而求出該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時的機(jī)械能之比．

解答 解：（1）由T=$\frac{2πR}{v}$，可得火星半徑約R=$\frac{vT}{2π}$，
由$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得火星的質(zhì)量M=$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$
（2）由$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得動能為：${E}_{K}=\frac{GMm}{2r}$
引力勢能：${E}_{P}=-\frac{GMm}{r}$
故物體的機(jī)械能為：$E={E}_{K}+{E}_{P}=-\frac{GMm}{2r}$
可見：$E∝\frac{1}{r}$
故衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時的機(jī)械能之比：$\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\frac{2}{1}$
答：（1）火星的質(zhì)量為$\frac{{v}^{3}T}{2πG}$；
（2）該衛(wèi)星變軌前后在軌道上正常運(yùn)行時的機(jī)械能之比2：1．

點(diǎn)評 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，本題重點(diǎn)是要利用好給定的引力勢能，能求出機(jī)械能的表達(dá)式，難度適中．