Question

如圖所示，足夠長的間距為L=0.2m光滑水平導(dǎo)軌EM、FN與PM、QN相連，PM、QN是兩根半徑為d=0.4m的光滑的

1

4

圓弧導(dǎo)軌，O、P連線水平，M、N與E、F在同一水平高度，水平和圓弧導(dǎo)軌電阻不計，在其上端連有一阻值為R=8Ω的電阻，在PQ左側(cè)有處于豎直向上的有界勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₀=6T．現(xiàn)有一根長度稍大于L、質(zhì)量為m=0.2kg、電阻為r=2Ω的金屬棒從軌道的頂端P處由靜止開始下滑，到達(dá)軌道底端MN時對軌道的壓力為2mg，取g=10m/s²，求：
（1）棒到達(dá)最低點MN時金屬棒兩端的電壓；
（2）棒下滑到MN過程中金屬棒產(chǎn)生的熱量；
（3）從棒進(jìn)入EM、FN水平軌道后開始計時，磁場隨時間發(fā)生變化，恰好使棒做勻速直線運(yùn)動，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）金屬棒滑到軌道底端MN時，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出此時棒的速度．由E=BLv、U=

R

R+r

E求解金屬棒兩端的電壓；
（2）棒下滑的過程中，其重力勢能轉(zhuǎn)化為動能和電路中內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解金屬棒產(chǎn)生的熱量；
（3）棒進(jìn)入EM、FN水平軌道后要做勻速直線運(yùn)動，所受的合力應(yīng)為零，故知棒不受安培力，說明回路中沒有產(chǎn)生感應(yīng)電流，磁通量不變，根據(jù)磁通量公式Φ=BS列式，即可求得B的表達(dá)式．

解答：解：（1）金屬棒在導(dǎo)軌最低點MN處，由重力和軌道的支持力提供向心力，由牛頓第二定律得：
  N-mg=m

v2

d

，且N=2mg
解得：v=

gd

=

10×0.4

m/s=2m/s
金屬棒產(chǎn)生的電動勢 E=B₀Lv
金屬棒兩端的電壓 U=

R

R+r

E
聯(lián)立得：U=1.92V
（2）由能量守恒得：mgd=

1

2

mv2+Q
金屬棒產(chǎn)生的熱量：Qr=

r

R+r

Q
聯(lián)立得：Q_r=0.08J
（3）因為棒做勻速直線運(yùn)動，故棒和電阻R組成的回路磁通量不變
在t=0時刻，回路磁通量Ф₀=B₀Ld
在t時刻，回路磁通量Ф=BL（d+vt）
由Ф₀=Ф可得：B=

B0d

d+vt

=

6×0.4

0.4+2t

=

6

1+5t

（T）
答：（1）棒到達(dá)最低點MN時金屬棒兩端的電壓為1.92V；（2）棒下滑到MN過程中金屬棒產(chǎn)生的熱量為0.08J；（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間變化的表達(dá)式為B=

6

1+5t

T．

點評：本題中金屬棒做圓周運(yùn)動，分析向心力的來源，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求出速度，分析能量如何轉(zhuǎn)化是運(yùn)用能量守恒定律的關(guān)鍵．