Question

10．已知一條河寬40米，水流速度為0.6m/s，一只小船在靜水中的運(yùn)動(dòng)速度為1m/s
（1）小船要以最短的時(shí)間過(guò)河，應(yīng)如何過(guò)？過(guò)河過(guò)程的時(shí)間和位移各是多少？
（2）小船要以最短的位移過(guò)河，應(yīng)如何過(guò)？過(guò)河過(guò)程的時(shí)間和位移各是多少？
（3）若小船的速度為0.3m/s，重新分析上述的兩個(gè)問(wèn)題．

Answer 1

分析 將小船的運(yùn)動(dòng)分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，當(dāng)靜水速的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，當(dāng)合速度的方向與河岸垂直時(shí)，渡河位移最短．
因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸．當(dāng)靜水速的方向與河岸垂直，渡河時(shí)間最短．

解答 解：（1）小船要過(guò)河時(shí)間最短，船頭方向需垂直河岸方向：
t=$\frac1111116{{v}_{c}}$=$\frac{40}{1}$s=40s
過(guò)河的位移為：s=$\sqrt{6161666^{2}+（{v}_{s}t）^{2}}$=$\sqrt{4{0}^{2}+2{4}^{2}}$=46.6m
（2）因?yàn)関_船＞v_水，要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為θ，則有：
cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{0.6}{1}$=0.6
所以得：θ=53°   
那么船的合速度為：v_合=$\sqrt{{v}_{c}^{2}-{v}_{s}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}-0．{6}^{2}}$=0.8m/s；
過(guò)河時(shí)間為：t′=$\frac1161166{{v}_{合}}$=$\frac{40}{0.8}$=50s；
過(guò)河位移為40m；
（3）當(dāng)靜水速的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間：
t″=$\frac6166111{v{′}_{c}}$=$\frac{40}{0.3}$=$\frac{400}{3}$s
水平分位移：
x=v_st″=0.6×$\frac{400}{3}$=80m
故合位移：
S′=$\sqrt{4{0}^{2}+8{0}^{2}}$=89.4m
因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸．
當(dāng)合速度的方向與相對(duì)水的速度的方向垂直時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最短，
渡河航程最��；

根據(jù)幾何關(guān)系，則有：$\frac6666661{s″}$=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，因此最短的航程是：
s″=$\frac{0.6}{0.3}$×40=80m
過(guò)河時(shí)間為t₃=$\frac1166611{{v}_{c}cos30°}$=$\frac{40}{0.3×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{800\sqrt{3}}{3}$s
答：（1）小船要以最短的時(shí)間過(guò)河，應(yīng)垂直過(guò)河，過(guò)程的時(shí)間為40s和位移是46.6m；
（2）小船要以最短的位移過(guò)河，船頭偏向上游，與河岸的夾角為53°過(guò)河，過(guò)程的時(shí)間為50s和位移是40m；
（3）若小船的速度為0.3m/s，最短時(shí)間仍是垂直河岸過(guò)河，過(guò)河時(shí)間為$\frac{400}{3}$s，發(fā)生的位移為89.4m；
最短位移過(guò)河時(shí)，過(guò)河時(shí)間為$\frac{800\sqrt{3}}{3}$s，而最短位移為80m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道分運(yùn)動(dòng)和合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，知道當(dāng)靜水速與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，合速度方向與河岸垂直時(shí)，渡河位移最短．
同時(shí)掌握當(dāng)靜水速與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，當(dāng)靜水速大于水流速，合速度與河岸垂直，渡河航程最短，當(dāng)靜水速小于水流速，合速度與靜水速垂直，渡河航程最短．