Question

18．某裝置用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，工作原理圖如圖所示．裝置的長(zhǎng)L=2$\sqrt{3}d$，上下兩個(gè)相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同、方向與紙面垂直且相反，兩磁場(chǎng)的間距為d，裝置右端有一收集板，N、P為板上的兩點(diǎn)，N、P分別位于下方磁場(chǎng)的上、下邊界上．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子靜止在A處，經(jīng)加速電場(chǎng)加速后，以速度v₀沿圖中的虛線從裝置左端的中點(diǎn)O射入，方向與軸線成60°角．可以通過(guò)改變上下矩形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)弱（兩磁場(chǎng)始終大小相同、方向相反），控制粒子到達(dá)收集板上的位置．不計(jì)粒子的重力．
（1）試求出加速電壓U的大小；
（2）若粒子只經(jīng)過(guò)上方的磁場(chǎng)區(qū)域一次，恰好到達(dá)收集板上的P點(diǎn)，求磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h；
（3）欲使粒子經(jīng)過(guò)上下兩磁場(chǎng)并到達(dá)收集板上的N點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有多個(gè)可能的值，試求出其中的最小值B．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中加速，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出加速電壓．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，然后應(yīng)用幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h．
（3）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡應(yīng)用幾何知識(shí)求出粒子的軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得：U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，依題意作出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L=3rsin60°+3×$\frac{\frac6616616{2}}{tan60°}$，
h=r（1-cos60°），
解得：h=$\frac{1}{2}$d；
（3）當(dāng)B為最小值時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r則為最大值，即粒子只經(jīng)過(guò)上方和下方的磁場(chǎng)區(qū)域各一次，
恰好到達(dá)收集板上的N點(diǎn)．設(shè)帶電粒子此時(shí)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r′，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L=4r′sin60°+3×$\frac{\frac1161161{2}}{tan60°}$，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r′}$，
解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$；
答：（1）加速電壓U的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$；
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的寬度h為$\frac{1}{2}$d；
（3）最小值B為$\frac{4m{v}_{0}}{3qd}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的前提，在解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，明確題意才能準(zhǔn)確利用洛侖茲力充當(dāng)向心力及幾何關(guān)系進(jìn)行求解．