Question

5．在不久的將來，我國科學(xué)家乘坐“嫦娥N號”飛上月球（可以認為是均勻球體），為了研究月球，科學(xué)家在月球的“赤道”上以大小為v₀的初速度豎直上拋一物體，經(jīng)過時間t₁，物體回到拋出點；在月球的“兩極”處仍以大小為v₀的初速度豎直上拋同一物體，經(jīng)過時間t₂，物體回到拋出點．已知月球的半徑為R，（萬有引力常量為G）求：
（1）月球的質(zhì)量；
（2）月球的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 （1）在月球的兩極上重力與萬有引力相等，根據(jù)豎直上拋運動求得月球兩極處的重力加速度，從而求得月球的質(zhì)量；
（2）物體在月球赤道上萬有引力等于物體在月球赤道上的重力與隨月球自轉(zhuǎn)向心力之和，根據(jù)豎直上拋運動求得月球赤道處的重力加速度即可求得月球自轉(zhuǎn)周期．

解答 解：根據(jù)豎直上拋運動規(guī)律可知，在月球赤道上的重力加速度$g=\frac{2{v}_{\;}}{{t}_{1}}$，在月球兩極處的重力加速度g′=$\frac{2{v}_{0}}{{t}_{2}}$．
（1）在月球兩極物體不隨月球自轉(zhuǎn)，此時重力等于物體與月球的萬有引力，據(jù)此有：
$mg′=G\frac{mM}{{R}^{2}}$
可得月球的質(zhì)量為：M=$\frac{g′{R}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{G{t}_{2}}$
（2）在月球赤道上，萬有引力一部分表現(xiàn)為物體的重力一部分提供隨月球自轉(zhuǎn)的向心力，故有：
$mg′=mg+mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由引可得月球的自轉(zhuǎn)周期為：
T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g′-g}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{\frac{2{v}_{0}}{{t}_{2}}-\frac{2{v}_{0}}{{t}_{1}}}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R{t}_{1}{t}_{2}}{2{v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{2}）}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{G{t}_{2}}$；
（2）月球的自轉(zhuǎn)周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R{t}_{1}{t}_{2}}{2{v}_{0}（{t}_{1}-{t}_{2}）}}$．

點評 在星表面重力等于萬有引力前提是忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，考慮到星球自轉(zhuǎn)則在星球兩極萬有引力等于重力，在赤道上萬有引力等于重力與隨星球自轉(zhuǎn)的向心力之和，這解決本題的關(guān)鍵．