14.如圖甲所示,水平傳送帶以5.0m/s恒定的速率運(yùn)轉(zhuǎn),兩皮帶輪之間的距離l=6.0m,皮帶輪的半徑大小可忽略不計(jì).沿水平傳送帶的上表面建立xOy坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)O在傳送帶的最左端.半徑為R的光滑圓軌道ABC的最低點(diǎn)A點(diǎn)與C點(diǎn)原來(lái)相連,位于豎直平面內(nèi)(如圖乙所示),現(xiàn)把它從最低點(diǎn)處切開(kāi),并使C端沿y軸負(fù)方向錯(cuò)開(kāi)少許,把它置于水平傳送帶的最右端,A點(diǎn)位于x軸上且與傳送帶的最右端之間的距離可忽略不計(jì),軌道的A、C兩端均位于最低點(diǎn),C端與一水平直軌道平滑連接.由于A、C兩點(diǎn)間沿y軸方向錯(cuò)開(kāi)的距離很小,可把ABC仍看作位于豎直平面內(nèi)的圓軌道.
將一質(zhì)量m=1.0kg的小物塊P(可視為質(zhì)點(diǎn))沿x軸輕放在傳送帶上某處,小物塊隨傳送帶運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)進(jìn)入光滑圓軌道,恰好能夠通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)B,并沿豎直圓軌道ABC做完整的圓周運(yùn)動(dòng)后由C點(diǎn)經(jīng)水平直軌道滑出.已知小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50,圓軌道的半徑R=0.50m,取重力加速度g=10m/s2.求:

(1)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道壓力的大。
(2)輕放小物塊位置的x坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件,才能完成上述運(yùn)動(dòng);
(3)傳送帶由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng),其與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng),不計(jì)輪軸處的摩擦.若將小物塊輕放在傳送帶上O點(diǎn),求為將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送至A點(diǎn)過(guò)程中電動(dòng)機(jī)多做的功.

分析 (1)物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí),由重力提供向心力,根據(jù)牛頓第二定律求出B點(diǎn)速度,物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程,根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)速度,在A點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解;
(2)根據(jù)牛頓第二定律求出物塊在傳送帶上的加速度,根據(jù)(1)可知物體到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度與傳送帶速度相等,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出物體在傳送帶上加速的位移,從而求出輕放小物塊的位置坐標(biāo)需滿足的條件;
(3)根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求出物塊相對(duì)于傳送帶運(yùn)動(dòng)的位移,根據(jù)結(jié)合功能關(guān)系求解即可.

解答 解:(1)設(shè)物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí)的速率為vB,根據(jù)牛頓第二定律有:
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得:vB=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}$ m/s=$\sqrt{5}$m/s
設(shè)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A的速率為vA,對(duì)于物塊由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)的過(guò)程,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有:
$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$+2mgR
代入數(shù)據(jù)解得:vA=5.0m/s
設(shè)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A時(shí),軌道對(duì)物塊的支持力為FN,根據(jù)牛頓第二定律有:
FN-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$;
代入數(shù)據(jù)解得:FN=60N
據(jù)牛頓第三定律,物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A對(duì)軌道的壓力為:F′N=FN=60N
(2)物塊在傳送帶上的加速度為:a=μg=5.0m/s2
根據(jù)(1)可知物塊運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)的速度滿足vA=5.0m/s,
可使其恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B.傳送帶的速率為:v0=5.0m/s,
物塊在傳送帶上加速運(yùn)動(dòng)的位移為:x0=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a}$=2.5m,
故輕放小物塊的位置坐標(biāo)需滿足:x≤l-x0=3.5m
(3)設(shè)為將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送到A點(diǎn)傳送帶電動(dòng)機(jī)做的功為W,小物塊加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為:t=$\frac{{v}_{A}}{a}$=1.0s,
小物塊加速運(yùn)動(dòng)的位移:x=$\frac{1}{2}$at2=2.5m
根據(jù)功能關(guān)系有:W=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$+μmg(v0t-x)=25J
答:(1)物塊通過(guò)圓軌道最低點(diǎn)A時(shí)對(duì)軌道壓力的大小為60N;
(2)輕放小物塊位置的x坐標(biāo)應(yīng)滿足x≤3.5m,才能完成上述運(yùn)動(dòng);
(3)為將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送至A點(diǎn)過(guò)程中電動(dòng)機(jī)多做的功為25J.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式以及功能關(guān)系得直接應(yīng)用,知道物塊恰好通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)B時(shí),由重力提供向心力是解題的突破口,難度適中.

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