Question

【題目】如圖所示，ab、ef是固定在絕緣水平桌面上的平行光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)軌間距為d．在導(dǎo)軌ab、ef間放置一個(gè)阻值為R的金屬導(dǎo)體棒PQ．其質(zhì)量為m，長度恰好為d．另一質(zhì)量為3m、長為d的金屬棒MN也恰好能和導(dǎo)軌良好接觸，起初金屬棒MN靜止于PQ棒右側(cè)某位置，盛個(gè)裝置處于方向垂直桌面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的光滑絕緣小球在桌而上從O點(diǎn)（O為導(dǎo)軌上的一點(diǎn)）以與可成60°角的方向斜向右方進(jìn)人磁場，隨后小球垂直地打在金屬棒MN的中點(diǎn)，小球與金屬棒MN的碰撞過程中無機(jī)械能損失，不計(jì)導(dǎo)軌間電場的影響，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒MN的電阻，兩桿運(yùn)動(dòng)過程中不相碰，求：

（1）小球在O點(diǎn)射人磁場時(shí)的初速度v0

（2）金屬棒PQ上產(chǎn)生的熱量E和通過的電荷量Q

（3）在整個(gè)過程中金屬棒MN比金屬棒PQ多滑動(dòng)的距離

（4）請通過計(jì)算說明小球不會(huì)與MN棒發(fā)生第二次碰撞；

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）（4）小球不會(huì)與MN桿發(fā)生第二次碰撞。

【解析】

光滑絕緣小球在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可求半徑，牛頓第二定律求出小球在O點(diǎn)射人磁場時(shí)的初速度；小球與MN桿發(fā)生彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求出碰后小球速度和MN桿速度，此后桿MN與桿PN組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)能量守恒定律求解PQ上產(chǎn)生的熱量，對桿PQ應(yīng)用動(dòng)量定理求得金屬棒PQ通過的電荷量；根據(jù)電荷量公式求解在整個(gè)過程中金屬棒MN比金屬棒PQ多滑動(dòng)的距離；球與MN碰后，球碰后做圓周運(yùn)動(dòng)，這段時(shí)間內(nèi)桿MN減速運(yùn)動(dòng)，與PQ同速后做運(yùn)勻速動(dòng)，由此判斷小球不會(huì)與MN桿發(fā)生第二次碰撞；

（1）如圖所示，可得：光滑絕緣小球在水平桌面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑設(shè)為r，

由圖可知：

得：

由牛頓第二定律可得：

得：

（2）由題可知小球與MN桿發(fā)生彈性碰撞，設(shè)碰后小球速度為，MN桿速度為，可得：

聯(lián)立可得：

此后桿MN與桿PN組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，共速度時(shí)速度設(shè)為，則有：

可得：

由能量守恒定律可知PQ上產(chǎn)生的熱量：

對桿PQ應(yīng)用動(dòng)量定理可得：

即：

得：

（3）由

得桿MN比桿PQ多滑動(dòng)的距離：

（4）由（2）可知球與MN碰后，小球的速度為：， 桿MN的速度為：

小球碰后做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：

運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期的時(shí)間為：

這段時(shí)間內(nèi)桿MN減速到與PQ同速，最小速度為，則其位移：

此后桿MN一直向左運(yùn)動(dòng)，故小球不會(huì)與MN桿發(fā)生第二次碰撞。