Question

19．質量為1kg的杯子里盛有2kg的水，用繩子系住水杯在豎直平面內做圓周運動，轉動半徑為1m，水杯通過最高點時的速度為4m/s，g=10m/s²，求：
（1）在最高點時，繩的拉力
（2）在最高點時水對杯底的壓力
（3）為使水杯經過最高點時水不流出，在最高點時最小速率是多少．

Answer 1

分析 （1、2）對杯子和水整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力，隔離對水分析，通過牛頓第二定律求出杯底對水的壓力．
（3）抓住杯底對水的彈力為零，根據(jù)重力提供向心力求出最小速度．

解答 解：（1）對杯子和水整體分析，根據(jù)牛頓第二定律得：$T+（M+m）g=（M+m）\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：T=$（M+m）\frac{{v}^{2}}{r}-（M+m）g$=$3×\frac{16}{1}-30$N=18N．
（2）對水分析，根據(jù)牛頓第二定律得：N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：N=m$\frac{{v}^{2}}{r}-mg=2×16-20=12$N．
（3）根據(jù)mg=m$\frac{{{v}_{min}}^{2}}{r}$得：解得v_min=$\sqrt{gr}=\sqrt{10}$m/s，則杯子做圓周運動最小的線速度為$\sqrt{10}$m/s．
答：（1）在最高點時，繩的拉力為18N；
（2）在最高點時水對杯底的壓力為12N；
（3）為使水杯經過最高點時水不流出，在最高點時最小速率是$\sqrt{10}$m/s．

點評 解決本題的關鍵掌握圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解，掌握在最高點的臨界情況．