Question

5．如圖所示，質(zhì)量為M且足夠長的木板放在光滑水平面上，其右端有一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的滑塊，滑塊與木板問的動摩擦因數(shù)為μ．勁度系數(shù)為k的水平輕彈簧的右端O固定不動，其自由端A與滑塊的距離為L．現(xiàn)給木板一水平向右的瞬時速度v₀，滑塊將由靜止開始向右運動，與彈簧接觸后經(jīng)過一段時間向右運動的速度到達最大，且滑塊的速度始終小于木板的速度（彈簧在形變在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g，不計空氣阻力）求：
（1）滑塊剛接觸彈簧對滑塊的速度大小v₁和木板的速度大小v₂
（2）滑塊向右運動的速度到達最大值的過程中，彈簧的壓縮量x及彈簧對滑塊所做的功W（已知彈簧對滑塊所做的功可用公式W=-$\frac{1}{2}$kx²計算，其中x表示彈簧被壓縮的長度）
（3）滑塊向右運動的最大速度v_max．

Answer 1

分析 （1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運動，由動能定理可以求得滑塊的速度v₁，對滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律可以求得木板的速度v₂；
（2）滑塊接觸彈簧向右運動的過程中，當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值，可以求出此時彈簧的被壓縮的長度，由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長度成正比，故可根據(jù)公式求得W；
（3）對木板用動量定理可以算出木板的速度，再對滑塊和木板分別用動能定理即可解出．

解答 解：（1）滑塊在接觸彈簧之前，在滑動摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運動了L距離，
由動能定理得；μmgL=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{2μgL}$
對滑塊和木塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得：Mv₀=Mv₂+mv₁
解得：v₂=v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$
（2）滑塊接觸彈簧向右運動的過程中，當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值，此時彈簧的被壓縮的長度為x，則：
μmg=kx解得：x=$\frac{μmg}{k}$
由于彈簧彈力與彈簧被壓縮的長度成正比，所以有W=-$\frac{1}{2}kx•\;x$=-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$
（3）滑塊向右運動速度達到最大值時，設(shè)滑塊的最大速度為v_m時木板速度大小為v，在彈簧被壓縮的長度為x的過程中，
對木板由動量定理得：
-μmgt=M（v-v₂）
解得：v=v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$-$\frac{μmgt}{M}$
分別對滑塊和木板用動能定理得：
μmgx+W=$\frac{1}{2}m\;{{v}_{m}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
-μmg（L+x+s）=$\frac{1}{2}M{{v}_{\;}}^{2}\;-\frac{1}{2}M{{v}_{0}}^{2}$
解得：v_m=$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$
s=$\frac{M}{2μmg}[{{v}_{0}}^{2}-{（\;{v}_{0}-\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}-\frac{μmgt}{M}）}^{2}]\;-\frac{μmg}{k}-L$
答：（1）滑塊剛接觸彈簧時滑塊的速度v₁大小為$\sqrt{2μgL}$，木板的速度v₂大小為v₀-$\frac{m}{M}\sqrt{2μgL}$；
（2）滑塊向右運動的速度達到最大值的過程中，彈簧對滑塊所做的功W為-$\frac{{μ}^{2}{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）滑塊向右運動的速度最大值v_m為$\sqrt{\frac{{μ}^{2}m{g}^{2}}{k}+2μgL}$．

點評 該題考查了動量守恒定律和動能定理相關(guān)知識點的綜合應(yīng)用，難度較大，要求同學們能夠根據(jù)題目要求正確選取研究對象和研究過程，運用動量守恒定律和動能定理解題，該題要注意當滑塊受到的滑動摩擦力和彈簧彈力相等時，加速度為0，此時速度達到最大值．