Question

如圖所示，水平圓盤(pán)半徑為R，可繞過(guò)圓盤(pán)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，在圓盤(pán)的邊緣用長(zhǎng)為R的細(xì)線拴著質(zhì)量為m的小球，圓盤(pán)靜止時(shí)小球離地面高度為，拴小球的細(xì)線能承受的最大拉力為，現(xiàn)讓圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增加，求：①細(xì)線欲斷不斷時(shí)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大？②細(xì)線斷開(kāi)后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為多少？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

解：（1）設(shè)細(xì)線的拉力恰好達(dá)到最大時(shí)與豎直方向的夾角為α，此時(shí)，小球圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=R+Rsinα．
∵cosα==∴α=30°，所以r=
根據(jù)牛頓第二定律得
mgtan30°=mω²r
解得ω=
（2）細(xì)線斷開(kāi)后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，初速度為v=ωr=
高度h=R+-Rcos30°=R
則平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=，水平位移x=vt
根據(jù)幾何知識(shí)得到，細(xì)線斷開(kāi)后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為
S==
答：
①細(xì)線欲斷不斷時(shí)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω=．
②細(xì)線斷開(kāi)后小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離為．
分析：（1）讓圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度緩慢增加，細(xì)線與豎直方向的夾角緩慢增大，細(xì)線的拉力緩慢增大，細(xì)線能承受的拉力最大時(shí)，細(xì)線與豎直方向的夾角達(dá)到最大．由重力和細(xì)線的拉力的合力提供小球的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解角速度．
（2）細(xì)線斷開(kāi)后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由離地的高度求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出水平位移，由幾何知識(shí)求出球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離．
點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐擺與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．容易產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方有兩點(diǎn)：一是圓錐擺的半徑，二是小球落地點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離．