Question

在如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里，大小為B，x軸下方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，方向與y軸的夾角θ為45°且斜向上方．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，該離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從x軸上的C點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域，該離子經(jīng)C點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為45°．不計(jì)離子的重力，設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域和電場(chǎng)區(qū)域足夠大． 求：
（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小及速度方向與電場(chǎng)方向的夾角．

Answer 1

（1）磁場(chǎng)中帶電粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故有qvB=m

v2

r

得  r=

mv

qB

 粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)知，
   xc=-(r+rcos45o)=-

(2+ 2 )mv

2qB

故C點(diǎn)坐標(biāo)為（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）
（2）T=

2πm

qB

設(shè)粒子從A到C的時(shí)間為t₁，由幾何知識(shí)知：t1=

5

8

T=

5

4

πm

qB

設(shè)粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到返回C的時(shí)間為t₂，其在電場(chǎng)中做勻變速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，有
   qE=ma  及2v₀=at₂
聯(lián)立（6）（7）解得  t2=

2mv0

qE

設(shè)粒子再次進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，由題意知t3=

1

4

T=

πm

2qB

所以粒子從A點(diǎn)到第三次穿越x軸的時(shí)間為t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

（3）粒子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程是在電場(chǎng)中做類平拋的運(yùn)動(dòng)，即沿著v₀的方向（設(shè)為x′軸）以v₀做勻速運(yùn)動(dòng)，沿著qE的方向（設(shè)為y′軸）做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)
  即x'=v₀t
    y′=

1

2

qE

m

t2  
    vy′=

qE

m

t
設(shè)離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為v，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角為α．
由圖中幾何關(guān)系知 

y′

x′

=cos450 

y′

x′

=cos45°，v=

v 20 +vy′2

，tanα=

v0

vy′

綜合上述得v=

5

v0，α=arctan

1

2

答：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)是（-

(2+ 2 )mv

2qB

，0）；
    （2）離子從A點(diǎn)出發(fā)到第三次穿越x軸時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是

7πm

4qB

+

2mv0

qE

；
    （3）離子第四次穿越x軸時(shí)速度的大小為

5

v0，速度方向與電場(chǎng)方向的夾角α=arctan

1

2

．