Question

15．天文學(xué)上，日地之間距離稱為一個(gè)天文單位，銀河系中火星離太陽的距離約為1.5個(gè)天文單位，若地球與火星均可視為繞太陽作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則地球與火星相鄰兩次相距最近的時(shí)間間隔約為（　�。�

• A． 2年
• B． 3年
• C． 4年
• D． 5年

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，列式可得周期的表達(dá)式，求得地球和火星的周期之比，這樣可以解出火星的周期．兩星轉(zhuǎn)過的角度之差△θ=2π時(shí)，火星與地球相鄰再次相距最近，從而求出時(shí)間．

解答 解：設(shè)行星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星與太陽的距離為r，火星的周期為T₁，地球的周期為T₂．
行星繞太陽做近似勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
則得：T²=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}$
地球的周期為T₂=1年，則有：
$（\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}）^{2}=（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}$=（1.5）³
解得火星的周期為T₁=1.8年
設(shè)經(jīng)時(shí)間t兩星又一次距離最近，
根據(jù)θ=ωt
則兩星轉(zhuǎn)過的角度之差為：
△θ=（$\frac{2π}{{T}_{2}}-\frac{2π}{{T}_{1}}$）t=2π
得：t=2.3年≈2年．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題也可運(yùn)用開普勒周期定律求解火星的運(yùn)動(dòng)周期．這種方法，很好理解，關(guān)鍵確定相距最近的條件．