Question

9．如圖所示，在坐標(biāo)系xoy的第一象限內(nèi)存在一勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁（大小未知），磁場(chǎng)方向垂直于xoy平面向里；第四象限內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，一帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，自y軸的P點(diǎn)沿x軸正方向射入第四象限，經(jīng)x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入第一象限，已知OP=d，OM=OQ=2d，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小和方向．
（2）若粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，求B₁為多大．
（3）若第三象限存在一與x軸相切與M點(diǎn)的圓形區(qū)域磁場(chǎng)B₂（大小未知），一段時(shí)間后，帶電粒子經(jīng)過M點(diǎn)，且從圓形磁場(chǎng)水平射出，再次經(jīng)過P點(diǎn)，求該粒子在圓形磁場(chǎng)中經(jīng)過的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律由豎直位移求得Q點(diǎn)分速度、運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求得水平分速度，從而得到Q點(diǎn)速度；
（2）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由初末速度方向根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，然后由洛倫茲力做向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）根據(jù)粒子受力情況得到運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而由幾何關(guān)系求得M點(diǎn)速度，然后由幾何關(guān)系求得中心角及半徑，即可由洛倫茲力做向心力求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在第四象限的電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在P點(diǎn)的初速度為v₀，故水平方向有：2d=v₀t；
豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度$a=\frac{qE}{m}$，最大速度v_y，則有：${v}_{y}=\sqrt{2•\frac{qE}{m}•d}=\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$；
所以，$t=\frac{{v}_{y}}{a}=\frac{2d}{{v}_{y}}$，${v}_{0}=\frac{2d}{t}={v}_{y}=\sqrt{\frac{2qEd}{m}}$；
粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度：$v=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$2\sqrt{\frac{qEd}{m}}$；設(shè)合速度與水平方向的夾角為θ，則$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，故θ=45°；
（2）粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，則粒子偏轉(zhuǎn)的角度是135°，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖：；
則偏轉(zhuǎn)半徑$R=\frac{OQ}{sin45°}=2\sqrt{2}d$；
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：${B}_{1}vq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，${B}_{1}=\frac{mv}{qR}=\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$；
（3）粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)速度方向和徑向垂直，故由圖可知，帶電粒子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸成45°，設(shè)帶電粒子在第三象限做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R′；

則根據(jù)幾何關(guān)系可以得到：R′sin45°+R′=d，所以，$R′=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}+1}d=（2-\sqrt{2}）d$；
粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期$T=\frac{2πR′}{v}$，所以，粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{135°}{360°}T=\frac{3}{8}T=\frac{3πR′}{4v}=\frac{3π×（2-\sqrt{2}）d}{8\sqrt{\frac{qEd}{m}}}$=$\frac{3（2-\sqrt{2}）π}{8}\sqrt{\frac{md}{qE}}$；
答：（1）粒子過Q點(diǎn)時(shí)速度的大小為$2\sqrt{\frac{qEd}{m}}$，方向與水平方向的夾角為45°．
（2）若粒子以垂直y軸的方向進(jìn)入第二象限，則B₁為$\sqrt{\frac{mE}{2qd}}$．
（3）若第三象限存在一與x軸相切與M點(diǎn)的圓形區(qū)域磁場(chǎng)B₂（大小未知），一段時(shí)間后，帶電粒子經(jīng)過M點(diǎn)，且從圓形磁場(chǎng)水平射出，再次經(jīng)過P點(diǎn)，那么該粒子在圓形磁場(chǎng)中經(jīng)過的時(shí)間為$\frac{3（2-\sqrt{2}）π}{8}\sqrt{\frac{md}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．