Question

15．如圖所示，在光滑水平面內建立直角坐標系xOy，一質點在該平面內O點受沿x正方向、大小為F的力的作用由靜止開始做勻加速直線運動．經過時間t，質點運動到A點，A、O兩點間的距離為L；在A點作用力突然變?yōu)檠貀軸正方向，大小仍為F，再經過時間t，質點運動到B點；在B點將作用力的方向始終與速度方向垂直且改變作用力的大小，使質點在平面內以L為半徑、圓心為O，做勻速圓周運動．求：
（1）質點的質量m；
（2）質點做圓周運動的向心力F₂；
（3）從B點開始計時，質點運動至距y軸最遠的距離L₂及所用的時間t₂．

Answer 1

分析 （1）質點從O到A做勻加速直線運動，從A到B做類平拋運動，從B到C做勻速圓周運動．研究OA過程，由牛頓第二定律和位移公式結合求出質點的質量m．
（2）研究AB過程，運用運動的分解法，由牛頓第二定律和分速度公式求出質點到達B點的速度，再由向心力公式F_n=m$\frac{{v}^{2}}{L}$求向心力F₂．
（3）質點運動至距y軸最遠時速度與y軸正方向平行，由幾何關系得出距y軸最遠的距離L₂，進而求所用的時間t₂．

解答 解：（1）從O到A物體做勻加速運動，在此過程中，由牛頓第二定律：
F=ma
由運動學得：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
聯立解得：m=$\frac{F{t}^{2}}{2L}$
（2）質點到達A點的速度設為v，則有：L=$\frac{v}{2}t$
可得：v=$\frac{2L}{t}$
從A到B質點做類平拋運動，在x方向做勻速直線運動，在y方向做勻加速直線運動，加速度為：a=$\frac{F}{m}$=$\frac{2L}{{t}^{2}}$
到達B點時，沿y軸方向的分速度為：v_y=at=$\frac{2L}{t}$
所以到達B點的速度為：v_B=$\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}L}{t}$，方向與x軸正方向成45°角．
質點做圓周運動的向心力為：F₂=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$=4F
（3）質點運動至距y軸最遠時速度與y軸正方向平行，由幾何關系得：
質點距y軸最遠的距離為：L₂=L+vt+L（1-cos45°）=（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L
所用的時間為：t₂=$\frac{\frac{π}{4}•L}{{v}_{{B}_{\;}}}$=$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$
答：（1）質點的質量m是$\frac{F{t}^{2}}{2L}$；
（2）質點做圓周運動的向心力F₂是4F．
（3）從B點開始計時，質點運動至距y軸最遠的距離L₂是（4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）L，所用的時間t₂是$\frac{\sqrt{2}πt}{16}$．

點評 解決本題的關鍵要明確質點的運動過程，采用程序法分析，要知道質點經歷了勻加速直線運動、類平拋運動、勻速圓周運動，結合牛頓第二定律和運動學公式靈活進行研究．