Question

20．磁流體動(dòng)力發(fā)電機(jī)的原理圖如圖所示．一個(gè)水平放置的上下、前后均封閉的橫截面為矩形的塑料管的寬度為l，高度為h，管內(nèi)充滿(mǎn)電阻率為ρ的某種導(dǎo)電流體（如電解質(zhì)）．矩形塑料管的兩端接有渦輪機(jī)，由渦輪機(jī)提供動(dòng)力使流體通過(guò)管道時(shí)具有恒定的水平向右的流速v₀．管道的前后兩個(gè)側(cè)面上各有長(zhǎng)為d的相互平行且正對(duì)的銅板M和N．實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)非常復(fù)雜，為簡(jiǎn)化起見(jiàn)作如下假設(shè)：①在垂直于流動(dòng)方向的橫截面上各處流體的速度相同；②流體不可壓縮．
（1）若在兩個(gè)銅板M、N之間的區(qū)域內(nèi)加有方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則當(dāng)流體以穩(wěn)定的速度v₀流過(guò)時(shí)，兩銅板M、N之間將產(chǎn)生電勢(shì)差．求此電勢(shì)差的大小，并判斷M、N兩板中哪個(gè)板的電勢(shì)較高．
（2）用電阻不計(jì)的導(dǎo)線將銅板M、N外側(cè)相連接，由于此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流體有阻力的作用，使流體的穩(wěn)定速度變?yōu)関（v＜v₀），求磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力．
（3）為使流體的流速增大到原來(lái)的值v₀，則渦輪機(jī)提供動(dòng)力的功率必須增大．假設(shè)流體在流動(dòng)過(guò)程中所受到的來(lái)自磁場(chǎng)以外的阻力與它的流速成正比，試導(dǎo)出渦輪機(jī)新增大的功率的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）流體通過(guò)管道時(shí)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出兩銅板間的電勢(shì)差．由右手定則判斷電勢(shì)高低．
（2）根據(jù)電阻定律求出兩個(gè)銅面之間區(qū)域的電阻R的表達(dá)式．結(jié)合安培力的大小公式，求出磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力．
（3）功率的增加量等于壓力差功率的增加量，根據(jù)壓力差的變化求出功率增加量的表達(dá)式

解答 解：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得兩銅板間的電勢(shì)差為：E=Blv₀
由右手定則可判斷出M板的電勢(shì)高
（2）用電阻不計(jì)的導(dǎo)線將銅板M、N外側(cè)相連接，即使兩銅板的外側(cè)短路，M、N兩板間的電動(dòng)勢(shì)為：E=Blv                
短路電流為：I=$\frac{E}{{R}_{內(nèi)}}$             
又R_內(nèi)=ρ$\frac{l}{hd}$                 
磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為：F=BIl  
解得：F=$\frac{{B}^{2}hldv}{ρ}$，方向與v的方向相反（或水平向左）．
（3）由能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律可知，渦輪機(jī)新增大的功率等于電磁感應(yīng)產(chǎn)生的電功率，即：
△P=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{內(nèi)}}$=$\frac{{v}_{0}^{2}{B}^{2}hld}{ρ}$
答：（1）電勢(shì)差為Blv₀，由右手定則可判斷出M板的電勢(shì)高．
（2）磁場(chǎng)對(duì)流體的作用力為$\frac{{B}^{2}hldv}{ρ}$．
（3）增加功率的表達(dá)式為△P=$\frac{{v}_{0}^{2}{B}^{2}hld}{ρ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握電阻定律、安培力大小和方向的判斷，難點(diǎn)在于通過(guò)平衡求出流體新的穩(wěn)定速度v的表達(dá)式