Question

如圖所示，兩個(gè)水平放置的帶電平行金屬板的勻強(qiáng)電場中，一長為 L 的絕緣細(xì)線一端固定在 O點(diǎn)，另端栓著一個(gè)質(zhì)量為 m，帶有一定電量的小球，小球原來靜止，當(dāng)給小球某一沖量后，它可繞 O 點(diǎn)在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動。若兩板間電壓增大為原來的 4 倍時(shí)，求：
（1）要使小球從 C 點(diǎn)開始在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，開始至少要給小球多大沖量？
（2）在運(yùn)動過程中細(xì)線所受的最大拉力。

Answer 1

（1）
（2）T = 18 mg

對本題的物理情景不難想象：一繩系帶電小球在兩板間原來的電場中作勻速圓周運(yùn)動。后來兩板間電壓升高為4倍，小球仍在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動。但這兩情況下相應(yīng)的物理?xiàng)l件是不同的，必須注意正確地把它們轉(zhuǎn)化為具體的物理?xiàng)l件。
（1）設(shè)原來兩極板間電壓為U，間距為 d ，小球電量為 q，因小球開始能在電場中作勻速圓周運(yùn)動，故小球所受電場力向上，并且和重力相等，所以小球帶正電，且滿足
qU/d = mg…………①，
當(dāng)兩板間電壓增到 4U時(shí)，設(shè)需在 C 點(diǎn)給小球的沖量為 I才能使其在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，并且 C 點(diǎn)就是小球做圓周運(yùn)動的等效最高點(diǎn)，(即臨界點(diǎn))在等效最高點(diǎn)處小球的線速度最小，小球所受新的電場力與重力的合力恰好滿足在該處作圓周運(yùn)動的向心力，此時(shí)細(xì)線對小球的拉力為零(這是等效最高點(diǎn)的特點(diǎn))。
即：
…………②，
∴ ，………③。
（2）小球在最高點(diǎn) D時(shí)就是小球做圓周運(yùn)動的等效最低點(diǎn)，小球在等效最低點(diǎn)處的線速度最大，所以細(xì)線L所受拉力最大，設(shè)拉力為T ，由牛頓第二定律，有：
 …………④，
小球C點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)過程中，重力和電場力做功，根據(jù)動能定理，有：
…………⑤，
由②式得小球在等效最低點(diǎn)處的線速度 …………⑥，
將⑥式代入④式，得 T = 18 mg。