Question

20．據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質量約為地球質量的6.4倍，其半徑r約為地球半徑的2倍，假設有一艘飛船環(huán)繞該星球做勻速圓周運動，且飛行速度為v=8km/s．（地球的半徑R=6400km，地球表面的重力加速度g=10m/s²）求：
（1）該行星表面的重力加速度．
（2）飛船到該星球表面的距離．（結果保留3位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 星球表面附近的物體所受星球的引力等于其重力列出等式．
星球對飛船的引力提供向心力列出等式，聯(lián)立可解得．

解答 解：（1）星球表面附近的衛(wèi)星所受星球的引力等于其重力，故：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg′
地球表面附近的衛(wèi)星所受地球的引力等于其重力，故：
G$\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}$=mg
得：g′=$\frac{M}{{M}_{地}}$•（$\frac{R}{r}$）²g=6.4×（$\frac{1}{2}$）²×10 m/s²=16 m/s²
（2）對飛船，萬有引力提供向心力，故：
G$\frac{Mm}{（r+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r+h}$
解得：
h=$\frac{GM}{{v}^{2}}$-r=$\frac{g′{r}^{2}}{{v}^{2}}$-r=$\frac{g′4{R}^{2}}{{v}^{2}}$-2R=$\frac{16×4×（6.4×1{0}^{6}）^{2}}{800{0}^{2}}$-2×6.4×10⁶=2.82×10⁷ m
答：（1）該行星表面的重力加速度為16m/s²；
（2）飛船到該星球表面的距離為2.82×10⁷m．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面宏觀物體運動和天體運動的橋梁．