Question

（20分）人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)(設(shè)為勻速圓周運動)時，既具有動能又具有引力勢能(引力勢能實際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的)。設(shè)地球的質(zhì)量為，以衛(wèi)星離地還需無限遠處時的引力勢能為零，則質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在距離地心為處時的引力勢能為 (G為萬有引力常量)。

（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星所具有的機械能的絕對值恰好等于其動能。

（2）當物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，這個速度叫做第二宇宙速度，用表示。用表示地球的半徑，表示地球的質(zhì)量，表示萬有引力常量。試寫出第二宇宙速度的表達式。

（3）設(shè)第一宇宙速度為，證明：。

Answer 1

解析：

（1）設(shè)衛(wèi)星在半徑為r的軌道上做勻速圓周運動的速度為v，地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m。有萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力：

　                                    （3分）

所以，人造衛(wèi)星的動能： 　     （2分）

衛(wèi)星在軌道上具有的引力勢能為：   　   （3分）

所以衛(wèi)星具有的機械能為：

 

所以：                     （2分）

（2）設(shè)物體在地于表面的速度為v₂，當它脫離地球引力時，此時速度為零，由機械能守恒定律得：

                                   （3分）

得：                                     （2分）

（3）第一宇宙速度即為繞地球表面運行的速度，故有：

   得                        （3分）

 

所以有：                （2分）