Question

如圖所示，半圓弧

AKD

的半徑為R，圓心為O，∠COK=30°．O點(diǎn)有一粒子源，可向半圓弧

AKD

發(fā)射速度為v₀的各個(gè)方向的帶負(fù)電的粒子．顯微鏡可以沿半圓弧

AKD

移動(dòng)，用以記錄有無粒子射到圓弧上．半圓區(qū)域內(nèi)存在與AD平行指向的勻強(qiáng)電場和垂直于紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，不計(jì)粒子間的相互作用力和粒子的重力．
（1）若電場強(qiáng)度E、磁感應(yīng)強(qiáng)度B、帶電粒子的電量q、帶電粒子的質(zhì)量m滿足：qER=4m

v

2 0

和v₀=

E

B

：
①只加電場，并將顯微鏡置于A點(diǎn)，最先到達(dá)顯微鏡的粒子的速度多大？
②將顯微鏡置于C點(diǎn)，控制粒子源，使其只向K點(diǎn)發(fā)射粒子．電場與磁場共存一段時(shí)間t₁后再撤去磁場，又經(jīng)時(shí)間t₂后，粒子到達(dá)顯微鏡．求兩段時(shí)間的比值t₁：t₂．
（2）若粒子源射出的帶負(fù)電的粒子的質(zhì)量范圍為m₁～m₂（m₁＜m₂）、電荷量范圍為q₁～q₂（q₁＜q₂），當(dāng)只有磁場時(shí)，移動(dòng)顯微鏡只能在圓弧

AKD

范圍內(nèi)看到粒子，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小．

Answer 1

分析：（1）只加電場，水平向左發(fā)射的粒子最快到達(dá)顯微鏡，電場力做功．根據(jù)動(dòng)能定理即可求得速度；電場與磁場共存時(shí)，有qE=qv₀B，即粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，撤去磁場后，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)；根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，即可求得時(shí)間關(guān)系；
（2）由題目分析可得，從O點(diǎn)水平向左發(fā)射的質(zhì)量為m₂、電量為q₂的粒子，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)剛好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．

解答：解：（1）①只加電場，水平向左發(fā)射的粒子最快到達(dá)顯微鏡，由動(dòng)能定理：qER=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

解得：v=3v₀
②電場與磁場共存時(shí)，有qE=qv₀B，即粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)
y₁=v₀t₁
撤去磁場后，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)：
y₂=v₀t₂
x2=

1

2

a

t

2 2

 
又qE=ma
由幾何關(guān)系
y₁+y₂=Rcos30°
x₂=Rsin30°
解得：

t1

t2

=

3 -1

1

（2）由題目分析可得，從O點(diǎn)水平向左發(fā)射的質(zhì)量為m₂、電量為q₁的粒子，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)剛好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，故
2rcos30°=R
q1v0B=

m2 v 2 0

r

解得B=

3 m2v0

q1R

答：（1）①只加電場，并將顯微鏡置于A點(diǎn)，最先到達(dá)顯微鏡的粒子的速度3v₀；
②兩段時(shí)間的比值t₁：t₂=

3

-1．
（2）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小B=

3 m2v0

q1R

．

點(diǎn)評(píng)：本題是粒子在磁場中勻速圓周運(yùn)動(dòng)和場外做勻速直線運(yùn)動(dòng)的綜合．磁場中圓周運(yùn)動(dòng)常用方法是畫軌跡，由幾何知識(shí)求半徑．