Question

7．風洞飛行表演是一種高科技的驚險的娛樂項目，在某次表演中，假設風洞內(nèi)向上的總風量和風速保持不變，質(zhì)量為m的表演者通過調(diào)整身姿，可改變所受的向上的風力大小，以獲得不同的運動效果，假設人體受風力大小與正對面積成正比，已知水平橫躺時受風力面積最大，且人體站立時受風力面積為水平橫躺時受風力面積的$\frac{1}{8}$，風洞內(nèi)人體可上下移動的空間總高度AC=H，開始時，若人體與豎直方向成一定角度傾斜時，受風力有效面積是最大值的一半，恰好使表演者在最高點A點處于靜止狀態(tài)；后來，表演者從A點開始，先以向下的最大加速度勻加速下落，經(jīng)過某處B點后，再以向上的最大加速度勻減速下落，剛好能在最低點C處減速為零，試求：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小；
（2）AB兩點的高度差與BC兩點的高度差之比；
（3）表演者從A點到C點減少的機械能．

Answer 1

分析 （1）由題意知，人體受風力大小與正對面積成正比，設最大風力為F_m，當受風力有效面積是最大值的一半時，人恰好靜止，由此可以求得重力G=$\frac{1}{2}$F_m，
人站立時所受的風力最小，為$\frac{1}{8}$F_m，人勻加速下降的加速度最大．當平躺時減速下落的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律求向上和向下的最大加速度．
（2）對勻加速和勻減速過程，運用運動學速度位移公式分別列式，可求解AB兩點的高度差與BC兩點的高度差之比．
（3）表演者從A點到C點減少的機械能等于人克服風力做功，由功能關系求解．

解答 解：（1）設最大風力為F_m，由于人體受風力大小與正對面積成正比，故人站立時風力為$\frac{1}{8}$F_m
由于受風力有效面積是最大值的一半時，恰好可以靜止，故可以求得人的重力 G=$\frac{1}{2}$F_m，則得 F_m=2G．
人站立時所受的風力最小，為$\frac{1}{8}$F_m，人勻加速下降的加速度最大．根據(jù)牛頓第二定律得：
向下的最大加速度大小 a₁=$\frac{mg-\frac{1}{8}{F}_{m}}{m}$=$\frac{mg-\frac{1}{8}×2mg}{m}$=$\frac{3}{4}$g
當人平躺下降時向上的加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律得：
表演者向上的最大加速度大小 a₂=$\frac{{F}_{m}-mg}{m}$=g；
（2）設人下降的最大速度為v，由速度位移公式，得：
勻加速下降過程位移 x₁=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
勻減速下降過程位移 x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
故x₁：x₂=a₂：a₁=4：3
則AB兩點的高度差與BC兩點的高度差之比為4：3．
（3）表演者從A點到C點減少的機械能等于人克服風力做功，由功能關系得：
△E=$\frac{1}{8}$F_mx₁+F_mx₂=$\frac{1}{8}$×2mg×$\frac{4}{7}$H+2mg×$\frac{3}{7}$H=mgH
答：
（1）表演者向上的最大加速度大小和向下的最大加速度大小分別為g和$\frac{3}{4}$g．
（2）AB兩點的高度差與BC兩點的高度差之比為4：3．
（3）表演者從A點到C點減少的機械能為mgH．

點評 本題關鍵將下降過程分為勻加速過程和勻減速過程，求出各個過程的加速度，然后根據(jù)運動學公式列式研究．