Question

（2009?山東）如圖甲所示，建立Oxy坐標(biāo)系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，極板長(zhǎng)度和板間距均為l，第一四象限有磁場(chǎng)，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側(cè)的粒子源沿x軸向右連接發(fā)射質(zhì)量為m、電量為+q、速度相同、重力不計(jì)的帶電粒子在0～3t時(shí)間內(nèi)兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．
已知t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的帶電粒子恰好在t₀時(shí)刻經(jīng)極板邊緣射入磁場(chǎng)．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）

（1）求電壓U的大小．
（2）求

1

2

t₀時(shí)進(jìn)入兩板間的帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）何時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短？求此最短時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．由題知道x方向位移為l，y方向位移為

l

2

，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解U．
（2）

1

2

t0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t0時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t0時(shí)間兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出y方向分速度與x方向分速度，再合成求出
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，則牛頓定律求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期一定，當(dāng)軌跡的圓心角最小時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．

解答：解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在電場(chǎng)中做勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，t₀時(shí)刻剛好從極板邊緣射出，
則有 y=

1

2

l，x=l
由E=

U0

l

①，Eq=ma②，y=

1

2

l=

1

2

a

t

2 0

③
聯(lián)立以上三式，解得兩極板間偏轉(zhuǎn)電壓為U0=

ml2

q t 2 0

④．
  （2）

1

2

t0時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，前

1

2

t0時(shí)間在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，后

1

2

t0時(shí)間兩極板沒(méi)有電場(chǎng)，帶電粒子做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．
   由題，帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為 v_x=v0=

l

t0

    ⑤
   帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)沿y軸負(fù)方向的分速度大小為vy=a?

1

2

t0⑥
   帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的速度大小為v=

v 2 x + v 2 y

⑦
   設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
   則有Bvq=m

v2

R

⑧，聯(lián)立③⑤⑥⑦⑧式
           解得R=

5 ml

2qBt0

⑨
   （3）在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子，在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，飛出極板時(shí)速度方向與磁場(chǎng)邊界的夾角最小，而根據(jù)軌跡幾何知識(shí)可知，軌跡的圓心角等于粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界夾角的2倍，所以在t=2t₀時(shí)刻進(jìn)入兩極板的帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短．
   帶電粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)沿y軸正方向的分速度為v_y′=at₀⑩，
   設(shè)帶電粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)速度方向與y軸正方向的夾角為α，則tanα=

v0

v ′ y

，
   聯(lián)立③⑤⑩式解得α=

π

4

，帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的軌跡圖如圖所示，圓弧所對(duì)的圓心角為2α=

π

2

，
   所求最短時(shí)間為tmin=

1

4

T，
   帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T=

2πm

Bq

，聯(lián)立以上兩式解得tmin=

πm

2Bq

．

點(diǎn)評(píng)：考查了考生分析、推理和綜合能力，試題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，但只要認(rèn)真分析物理過(guò)程，找準(zhǔn)物理過(guò)程對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，還是容易求解．