Question

上海環(huán)球金融中心中一部直通高層的電梯，行程超過百米．電梯的簡(jiǎn)化模型如圖1所示．考慮安全、舒適、省時(shí)等因素，電梯的加速度a隨時(shí)間t變化的．已知電梯在t=0時(shí)由靜止開始上升，a-t圖如圖2所示．電梯總質(zhì)量m=2.0×10³kg．忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s²．
（1）求電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）類比是一種常用的研究方法．對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，教科書中講解由v-t圖象求位移的方法．請(qǐng)你借鑒此方法，對(duì)比加速度和速度的定義，根據(jù)圖2所示a-t圖象，求電梯在第1s內(nèi)速度改變量△v₁和第2s末的速率v₂；
（3）求電梯上升過程中的最大速率，以及以最大速率上升的距離．

Answer 1

分析：（1）由圖讀出電梯向上加速運(yùn)動(dòng)的最大加速度和減速運(yùn)動(dòng)的最大加速度大小，由牛頓第二定律求解最大拉力F₁和最小拉力F₂；
（2）運(yùn)用類比法可知，a-t圖象與坐標(biāo)軸所圍的“面積”等于速度變化量，即可求出電梯在第1s內(nèi)的速度改變量△υ₁，及電梯在2s內(nèi)的速度改變量△υ₂，即求得第2s末的速率υ₂；
（3）由a─t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a─t圖線下的面積，此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，由s=vt求出距離．

解答：解：（1）由牛頓第二定律，有 F-mg=ma
由a─t圖象可知，F(xiàn)₁和F₂對(duì)應(yīng)的加速度分別是a₁=1.0m/s²，a₂=-1.0m/s²
則
  F₁=m（g+a₁）=2.0×10³×（10+1.0）N=2.2×10⁴N
  F₂=m（g+a₂）=2.0×10³×（10-1.0）N=1.8×10⁴N
（2）通過類比可得，電梯的速度變化量等于第1s內(nèi)a─t圖線下的面積
△υ₁=0.50m/s
同理可得，△υ₂=υ₂-υ₀=1.5m/s
υ₀=0，第2s末的速率υ₂=1.5m/s
（3）由a─t圖象可知，11s～30s內(nèi)速率最大，其值等于0～11s內(nèi)a─t圖線下的面積，有
  υ_m=10m/s
此時(shí)電梯做勻速運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)的距離s=vt=10m/s×（30-11）s=190m
答：（1）電梯在上升過程中受到的最大拉力F₁是2.2×10⁴N，最小拉力F₂是1.8×10⁴N．
（2）電梯在第1s內(nèi)的速度改變量△υ₁是0.50m/s，第2s末的速率υ₂是1.5m/s．
（3）求電梯上升過程中的最大速率10m/s，以及以最大速率上升的距離190m．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是具備的讀圖能力，并能根據(jù)加速度圖象分析電梯的運(yùn)動(dòng)情況；二要能運(yùn)用類比法，理解加速度圖象“面積”的物理意義．