Question

12．如圖所示，一質(zhì)量m=1kg的小物塊從A點(diǎn)被以v₀=8m/s的水平速度彈出，沿著滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀=0.6的粗糙水平面運(yùn)動(dòng)做直線運(yùn)動(dòng)，物塊經(jīng)過B點(diǎn)后水平拋出，AB間距離L=4m，當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入固定光滑圓弧軌道CD，經(jīng)圓弧軌道后滑上與D點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面的長(zhǎng)木板上，圓弧軌道D端切線水平，已知長(zhǎng)木板的質(zhì)量M=4kg，B、C兩點(diǎn)距D點(diǎn)的高度分別為H=0.6m，h=0.15m，R=0.75m，物塊與長(zhǎng)木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長(zhǎng)木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，g=10m/s²，求：
（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向；
（2）小物塊滑動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道D點(diǎn)的壓力；
（3）長(zhǎng)木板至少為多長(zhǎng)，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木板？

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動(dòng)的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)時(shí)軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，物塊的位移-長(zhǎng)木板的位移應(yīng)該小于等于長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度這一臨界條件展開討論即可

解答 解：（1）物體到達(dá)B點(diǎn)的速度為v，在Ab段由動(dòng)能定理可得${μ}_{0}mgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得v=4m/s
物塊做平拋運(yùn)動(dòng)：H-h=$\frac{1}{2}$gt²   
設(shè)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)豎直分速度為v_y則：v_y=gt
v₁=$\sqrt{{v}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$\frac{5}{4}$v=5m/s
方向與水平面的夾角為θ：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=0.75，即θ=37°  
（2）從B至D點(diǎn)，由動(dòng)能定理得mgH=$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ①
設(shè)D點(diǎn)受到的支持力為F_N，則有F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由①式可得v₂=2$\sqrt{7}$m/s   
所以：F_N=47.3 N     
根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊m對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力大小為47.3N
（3）由題意可知小物塊m對(duì)長(zhǎng)木板的摩擦力f=μ₁mg=5N 
長(zhǎng)木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力f′=μ₂（M+m）g=10N 
因f＜f′，所以小物塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)，長(zhǎng)木板靜止不動(dòng)
小物塊在長(zhǎng)木板上做勻減速運(yùn)動(dòng)，至長(zhǎng)木板右端時(shí)速度剛好為0
則長(zhǎng)木板長(zhǎng)度至少為l=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=2.8m   
答：（1）小物塊運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)時(shí)的速度大小為5m/s，方向與水平面成37°角；
（2）小物塊滑動(dòng)至D點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道C點(diǎn)的壓力F_N=47.3 N；
（3）長(zhǎng)木板至少為2.8m，才能保證小物塊不滑出長(zhǎng)木

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個(gè)不同運(yùn)動(dòng)過程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，掌握物塊各個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵