Question

18．如圖所示，將可視為質(zhì)點(diǎn)的A物體從傾角θ=37°的光滑斜面由靜止釋放，此時(shí)B物體剛好從O點(diǎn)開始以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右運(yùn)動(dòng)．已知A物體初始位置距斜面底端O的距離L=3m．不考慮A物體在轉(zhuǎn)折O處的能量損失，A、B物體與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ均為0.4，重力加速度g=10m/s．求：
（1）A物體到達(dá)斜面底端O點(diǎn)時(shí)間；
（2）A追上B時(shí)兩物體相距O點(diǎn)的距離及A所用的總時(shí)間（答案可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出A物體在斜面上下滑時(shí)的加速度，再由位移時(shí)間公式求A物體到達(dá)斜面底端O點(diǎn)時(shí)間；
（2）由速度時(shí)間公式求出A物體到達(dá)斜面底端時(shí)的速度大小，由牛頓第二定律求得A、B兩個(gè)物體在水平面上滑行時(shí)的加速度，由速度公式求出兩個(gè)物體速度達(dá)到時(shí)所用時(shí)間，并求得此時(shí)兩者相距的距離．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得兩個(gè)物體停下時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間和位移，再根據(jù)兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況求時(shí)間

解答 解：（1）根據(jù)受力分析知物體A在斜面上下滑時(shí)的加速度 a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ=6m/s²．
     由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得 L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：A到達(dá)斜面底端的時(shí)間 t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×3}{6}}$=1s
（2）當(dāng)A物體到達(dá)斜面底端時(shí)速度v_A，此時(shí)B物體的速度為v_B，相距O點(diǎn)的距離為x₁．
由速度公式可得 v_A=at=6×1=6m/s
由牛頓第二定律知：A、B物體在水平面上滑行的加速度大小均為 a′=$\frac{μmg}{m}$=μg=4m/s²．
則 v_B=v₀-a′t=5-4×1=1m/s
x₁=$\frac{{v}_{0}+{v}_{B}}{2}t$=$\frac{5+1}{2}$×1=3m
設(shè)再經(jīng)時(shí)間t₁B物體停下．則得 t₁=$\frac{{v}_{B}}{a′}$=$\frac{1}{4}$=0.25s
運(yùn)動(dòng)的距離 x₂=$\frac{{v}_{B}+0}{2}{t}_{1}$=$\frac{1}{2}×0.25$=0.125m
設(shè)A物體經(jīng)過(guò)距離x₃停下，則 x₃=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2a′}$=$\frac{{6}^{2}}{2×4}$=4.5m
由于x₁+x₂＜x₃，故A物體追上B時(shí)，B處于靜止
則A追上B時(shí)，兩物體相距O的距離 x=x₁+x₂=3.125m
由位移公式可得：x₁+x₂=v_At_A-$\frac{1}{2}a′{t}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得 t_A1=$\frac{6-\sqrt{11}}{4}$s，t_A2=$\frac{6+\sqrt{11}}{4}$s（舍去）
A追上B時(shí)，A所用總時(shí)間為 t_總=t+t_A1=1s+$\frac{6-\sqrt{11}}{4}$s=$\frac{10-\sqrt{11}}{4}$s
答：
（1）A物體到達(dá)斜面底端O點(diǎn)時(shí)間是1s；
（2）A追上B時(shí)兩物體相距O點(diǎn)的距離是3.125m，A所用的總時(shí)間是$\frac{10-\sqrt{11}}{4}$s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，邊計(jì)算邊分析，再根據(jù)追及時(shí)位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系進(jìn)行列式．