Question

8．如圖所示，在以O(shè)為圓心，內(nèi)外半徑分別為R₁和R₂的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)，存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，R₁=R₀，R₂=3R₀，一電荷量為+q，質(zhì)量為m的粒子從內(nèi)圓上的A點(diǎn)進(jìn)入該區(qū)域，不計(jì)重力．
（1）若粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度v₁射出，方向與OA延長(zhǎng)線成45°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為v₂，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)該如何取值？

Answer 1

分析 （1）由于粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度v₁射出，則入射點(diǎn)與出射點(diǎn)連續(xù)是弦，因此弦的中垂線與射出速度的垂線交點(diǎn)即為軌道的圓心．從而由幾何關(guān)系可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小一定，方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最大內(nèi)切圓半徑，所以由軌道半徑從而求出最小磁感應(yīng)強(qiáng)度．

解答  解：（1）由牛頓第二定律 $qBv=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$①，
如圖1，由幾何關(guān)系粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心O′和半徑R
則有：R²+R²=（R₂-R₁）²，
聯(lián)立③④得磁感應(yīng)強(qiáng)度大小$B=\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v_1}$，
由幾何關(guān)系確定粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{1}{4}T$，
由④⑥⑦式，得 $t=\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$，
（3）如圖2，為使粒子射出，則粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最大內(nèi)切圓半徑，該半徑為
${R_C}=\frac{{{R_2}+{R_1}}}{2}$②，
由①②，得磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)小于${B_c}=\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$，
答：（1）若粒子從OA延長(zhǎng)線與外圓的交點(diǎn)C以速度v₁射出，方向與OA延長(zhǎng)線成45°角，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{{\sqrt{2}m{v_1}}}{{2q{R_0}}}$，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{{\sqrt{2}π{R_0}}}{{2{v_1}}}$．
（2）若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小為v₂，方向不確定，要使粒子一定能夠從外圓射出，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)該小于$\frac{{m{v_2}}}{{2q{R_0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的步驟：定圓心、畫(huà)圓弧、求半徑．同時(shí)若粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，速度大小一定而方向不定，要使粒子一定能夠從外圓射出，求磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)最大值，則粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)半徑應(yīng)大于過(guò)A點(diǎn)的最小內(nèi)切圓半徑．