Question

【題目】如圖所示，虛線FG、MN、CD為在同一平面內(nèi)的水平直線邊界，在MN、CD區(qū)間內(nèi)有垂直邊界的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)的大小E＝1.5×105N/C，方向如圖所示；在FG、MN區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B＝0.2 T．已知電場和磁場在沿邊界方向的長度均足夠長，電場在垂直邊界方向的寬度d1＝0.20 m．在CD邊界上某點(diǎn)O處有一放射源，沿紙面向電場中各方向均勻地輻射出速率均為v0＝1.0×106m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì)量m＝6.4×10－27kg，電荷量q＝3.2×10－19C，粒子可以無阻礙地通過邊界MN進(jìn)入磁場，不計(jì)粒子的重力及相互作用．試求：

(1) 粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；

(2) 要使粒子不從FG邊界射出，求磁場垂直邊界MN方向上的最小寬度d；

(3) 若磁場垂直邊界MN方向上的寬度為0.2 m，求邊界FG上有粒子射出磁場的范圍長度及粒子首次在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間．

Answer 1

【答案】(1) r＝0.2 m (2) d＝0.3 m (3)0.43m；

【解析】

只要進(jìn)入磁場的粒子電場力做功是一定的，由動(dòng)能定理可以求出進(jìn)入磁場的速率，由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子在磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；先由左手定則判斷出粒子做順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)從邊界線最左邊射入磁場的軌跡與上邊界相切時(shí)，此種情況下磁場區(qū)域最寬，由此畫出軌跡，由幾何關(guān)系就能求出磁場區(qū)域的最小寬度；由于磁場的寬度與粒子的半徑相等，所以在想象中拿一個(gè)定圓在寬度一定的磁場區(qū)域移動(dòng)，這樣可以找到打在磁場上邊緣最左端的位置--即從最左端進(jìn)入磁場的粒子打在最左端，最右的位置顯然是豎直向上射出的粒子恰好與上邊緣相切，由幾何關(guān)系求出兩點(diǎn)的距離即為所求；至于最長時(shí)間，顯然偏轉(zhuǎn)角最大的--即打在最左端的粒子恰好轉(zhuǎn)過半周，所以最長時(shí)間是半個(gè)周期；

(1)帶電粒子從電場進(jìn)入磁場，由動(dòng)能定理有：

進(jìn)入磁場后，洛侖茲力提供向心力：

聯(lián)立兩式得：，

(2)在O點(diǎn)水平向左或向右方向射出的粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，其偏向角與水平方向 夾角為θ，則：

所以

當(dāng)從最左邊射出的粒子進(jìn)入磁場后是一個(gè)優(yōu)弧，當(dāng)該優(yōu)弧與磁場上邊界相切時(shí)， 由幾何關(guān)系有磁場寬度為：

(3)水平向左射出的粒子打在A點(diǎn)，水平位移：

從A點(diǎn)與水平方向成射出的粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)打在上邊邊界的P點(diǎn)，由對(duì)稱

性，可知P點(diǎn)偏離O點(diǎn)的左邊

顯然從O點(diǎn)豎直向上射出的粒子劃過四分之一圓弧打在Q點(diǎn)，該點(diǎn)是粒子打擊的 最右端，由幾何關(guān)系可知Q點(diǎn)偏離O點(diǎn)的右邊

所以能夠從FG邊緣穿出的長度范圍為

顯然豎直向上射出的粒子恰恰在磁場中轉(zhuǎn)過半周，轉(zhuǎn)再回到MN，此種情況粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長：