Question

6．MN和M′N(xiāo)′為兩豎直放置的平行光滑長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間的距離為L(zhǎng)．在導(dǎo)軌的下部有垂直于導(dǎo)軌向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．金屬棒ef的長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、電阻可忽略不計(jì)．在以下討論中，假設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，金屬棒ef與導(dǎo)軌垂直并良好接觸，導(dǎo)線和各接觸處的電阻不計(jì)，電路的電感、空氣的阻力可忽略，已知重力加速度為g．
（1）如圖甲所示，當(dāng)在導(dǎo)軌的MM′端通過(guò)導(dǎo)線將阻值為R的定值電阻連接，在t=0時(shí)無(wú)初速度地釋放金屬棒ef，求金屬棒所能達(dá)到的最大速度v_m的大�。�
（2）如圖乙所示，當(dāng)在導(dǎo)軌的MM′端通過(guò)導(dǎo)線將電容為C、擊穿電壓為U_b、正對(duì)面積為S、極板間可認(rèn)為是真空、極板間距為d的平行板電容器連接，在t=0時(shí)無(wú)初速度地釋放金屬棒ef．
①求電容器達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間；
②金屬棒ef下落的過(guò)程中，速度逐漸變大，感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)逐漸變大，電容器極板上的電荷量逐漸增加，兩極板間存儲(chǔ)的電場(chǎng)能也逐漸增加．單位體積內(nèi)所包含的電場(chǎng)能稱(chēng)為電場(chǎng)的能量密度．已知平行板電容器的電容的大小可表示為C=$\frac{{?}_{0}S}hgqqeyb$，?₀為真空中的介電常數(shù)．證明：平行板電容器兩極板間的空間內(nèi)的電場(chǎng)能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，并求出比例系數(shù)．結(jié)果用?₀和一些數(shù)字的組合表示．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)受到向上的安培力，金屬棒做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)加速度減小到0時(shí)，速度達(dá)到最大．根據(jù)最終達(dá)到平衡，列出平衡方程，求出最大速度；
（2）①由左手定則來(lái)確定安培力的方向，并求出安培力的大��；借助于I=$\frac{Q}{t}$、a=$\frac{△v}{△t}$及牛頓第二定律來(lái)求出速度與時(shí)間的關(guān)系，再由C=$\frac{Q}{U}$以及法拉第電磁感應(yīng)定律即可求出電容器達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間．
②由法拉第電磁感應(yīng)定律，求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；再與C=$\frac{{?}_{0}S}c8lwgku$，C=$\frac{Q}{U}$，U=Ed以及電場(chǎng)能的公式相結(jié)合即可求出電場(chǎng)能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比的表達(dá)式．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，金屬棒受到的安培力和重力是一對(duì)平衡力，即：F_安=mg
又因?yàn)椋?{F}_{安}=BIL=B\frac{E}{R}L=B•\frac{BL{v}_{m}}{R}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
所以，金屬棒此時(shí)的速度大小為：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）①在電容器達(dá)到擊穿電壓前，設(shè)任意時(shí)刻t，流過(guò)金屬棒的電流為i，由牛頓第二定律，金屬棒的加速度a滿足：mg-BiL=ma
設(shè)在t→t+△t的時(shí)間內(nèi)，金屬棒的速度：v→v+△v，
電容器兩端的電壓：U→U+△U、
電容器的帶電量：Q→Q+△Q，
由電流的定義、電量電壓和電容間的關(guān)系、電磁感應(yīng)定律以及加速度的定義得：i=$\frac{△Q}{△t}=\frac{C△U}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
將此式和上式聯(lián)立得：a=$\frac{mg}{{B}^{2}{L}^{2}C+m}$
可見(jiàn)，金屬棒做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)電容器達(dá)到擊穿電壓時(shí)，金屬棒的速度為：${v}_{0}=\frac{{U}_}{BL}$
所以，電容器達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間為：t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{U}_（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$
②當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無(wú)窮小量△Q_i時(shí)，極板間的電壓可認(rèn)為始終為U_i，增加的電場(chǎng)能可用圖1中左邊第1個(gè)陰影部分的面積表示；同理，當(dāng)電容器兩極板間的電荷量增加無(wú)窮小量△Q_i+1時(shí)，極板間的電壓可認(rèn)為始終為U_i+1，增加的電場(chǎng)能可用圖1中第2個(gè)陰影部分的面積表示；依此類(lèi)推，所以在圖2中，陰影部分的面積表示電容器的帶電量為Q′、兩端電壓為U′時(shí)，兩極板間電場(chǎng)能的大小E′，所以：$E′=\frac{1}{2}U′Q′$
根據(jù)題意有：ω=$\frac{E′}{Sd}$，
將Q′=CU′、U′=Ed和C=$\frac{{?}_{0}S}kztshaa$帶入上式，整理得：$ω=\frac{1}{2}{?}_{0}{E}^{2}$
所以，能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比，且比例系數(shù)為：$\frac{1}{2}{?}_{0}$
答：（1）金屬棒所能達(dá)到的最大速度v_m的大小是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）①電容器達(dá)到擊穿電壓所用的時(shí)間是$\frac{{U}_（{B}^{2}{L}^{2}C+m）}{BLmg}$；
②能量密度ω與電場(chǎng)強(qiáng)度E的平方成正比的證明如上；其中的比例系數(shù)為$\frac{1}{2}{?}_{0}$．

點(diǎn)評(píng) 本題難度比較大，讓學(xué)生理解左手定則、安培力的大小、法拉第電磁感應(yīng)定律，再應(yīng)用牛頓第二定律、勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式、E=BLv即可正確解題．