Question

如圖所示，質量均為m大小相同的小球A、B（都可視為質點）靜止在光滑水平面內的x軸上，它們的位置坐標分別為x=0和x=l．現(xiàn)沿x軸方向加一個力場，該力場只對小球A產(chǎn)生沿x軸正方向大小為F的恒力，以后兩小球發(fā)生正碰過程時間很短，不計它們碰撞過程的動能損失．

（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是多少？
（2）如果該力場的空間范圍是0≤x≤L（L＞l），求滿足下列條件的L值
①小球A、B剛好能夠發(fā)生兩次碰撞；
②小球A、B剛好能夠發(fā)生n次碰撞．

Answer 1

分析：（1）A第一次碰前過程根據(jù)動能定理列出等式，A與B碰撞，由動量守恒列出等式，再根據(jù)能量守恒求解
（2）對質點A運用運動學公式列出各過程的等式，根據(jù)滿足的條件找出L值

解答：解：（1）A第一次碰前速度設為v₀
動能定理：Fl=

1

2

m

v

2 0

-0
A與B碰撞，動量守恒，
則mv0=mvA′+mvB′
根據(jù)題意，總能量不損失，
則

1

2

mv02=

1

2

mvA 2+

1

2

mvB 2
聯(lián)立解得vA′=0，vB′=v0=

2Fl m

（2）①對質點A：
第一次碰前：v₀=at₀
l=

1

2

at02
第一次碰后到第二次碰前過程：
第二次碰前速度 v_A1=at₁
sA1=

1

2

at12
對質點B：
第一次碰后到第二次碰前過程：s_B1=v₀t₁
由于s_A1=s_B2
解得：t₁=2t₀，v_A1=2v₀，s_A1=s_B1=4l
則要使質點A、B剛好能夠發(fā)生兩次碰撞，L=l+4l=5l
②質點A、B第二次碰前速度分別為2v₀、v₀，碰后速度分別設為v″_A和v″_B
動量守恒：m?2v₀+mv₀=mv″_A+mv″_B
能量關系：

1

2

m(2v0)2+

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v″

2 A

+

1

2

m

v″

2 B

解得：v″_A=v₀，v″_B=2v₀
對質點A：
第二次碰后到第三次碰前：v_A2=v₀+at₂
sA2=v0t+

1

2

at22
對質點B：
第二次碰后到第三次碰前：s_B2=2v₀t₂
由于s_A2=s_B2
解得：t₂=2t₀，v_A2=3v₀，s_A2=s_B2=8l
綜上，質點A、B每次碰撞過程總是要交換速度；每次碰撞間隔時間都為2t₀；
每次碰撞后的相同時間間隔內，質點A速度增加2v₀，質點B速度不變
可得：每次碰撞位置間隔：4l、8l、12l…（n-1）4l
則要使質點A、B剛好能夠發(fā)生n次碰撞：L=l+4l+8l+12l+…+（n-1）4l=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）        
答：（1）小球A、B在第一次碰撞后的速度大小各是vA′=0，vB′=

2Fl m

．
（2）如果該力場的空間范圍是0≤x≤L（L＞l），
①小球A、B剛好能夠發(fā)生兩次碰撞，L=5l；
②小球A、B剛好能夠發(fā)生n次碰撞L=（2n²-2n+1）l（n=1，2，3…）．

點評：解決該題關鍵要分析A、B的運動情況，選擇適當?shù)难芯窟^程很重要，根據(jù)運動的性質列出等式求解．