Question

17．“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星的成功發(fā)射，實(shí)現(xiàn)了中華民族千年奔月的夢(mèng)想．假若我國的航天員登上某一星球并在該星球表面上做了如下圖所示力學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓質(zhì)量為m=1.0kg的小滑塊以v₀=1m/s的初速度從傾角為53°的斜面AB的頂點(diǎn)A滑下，到達(dá)B點(diǎn)后恰好能沿傾角為37°的斜面到達(dá)C點(diǎn)．不計(jì)滑過B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能損失，滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，測(cè)得A、C兩點(diǎn)離B點(diǎn)所在水平面的高度分別為h₁=1.2m，h₂=0.5m．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計(jì)該星球的自轉(zhuǎn)以及其他星球?qū)λ�的作用�?br />（1）求該星球表面的重力加速度G； 
（2）若測(cè)得該星球的半徑為R=6×10⁶m，宇航員要在該星球上發(fā)射一顆探測(cè)器繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則探測(cè)器運(yùn)行的最大速度為多大？
（3）取地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，求該星球的平均密度與地球的平均密度之比$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}$．

Answer 1

分析 （1）小滑塊從A到C的過程中，對(duì)滑塊進(jìn)行受力分析和做功分析，根據(jù)動(dòng)能定理列方程求得重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力、重力等于萬有引力列式，求解探測(cè)器的最大速度．
（3）根據(jù)密度公式和黃金代換式GM=gR²，求解星球的平均密度與地球的平均密度之比．

解答 解：（1）小滑塊從A到C的過程中，由動(dòng)能定理得：
$mg（{h}_{1}-{h}_{2}）-μmgcos53°•\frac{{h}_{1}}{sin53°}$$-μmgcos37°\frac{{h}_{2}}{sin37°}$=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
代入數(shù)值解得：g=6m/s²                                          
（2）設(shè)探測(cè)器質(zhì)量為m′，探測(cè)器繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)行速度最大，由牛頓第二定律和萬有引力定律得：
$G\frac{Mm′}{{R}^{2}}=m′\frac{{v}^{2}}{R}$，
又 $G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得v=$\sqrt{gR}$
代入數(shù)值解得：v=6000m/s=6km/s  
（3）由星球密度 $ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$ 和GM=gR²得該星球的平均密度與地球的平均密度之比為：
$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}=\frac{g{R}_{0}}{{g}_{0}R}$，
 代入數(shù)值解得：$\frac{ρ}{{ρ}_{0}}=0.64$．
答：（1）該星球表面的重力加速度為6m/s²；
（2）探測(cè)器運(yùn)行的最大速度為6km/s．
（3）該星球的平均密度與地球的平均密度之比為0.64．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力應(yīng)用主要從萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和星球表面重力和萬有引力相等兩方面入手分析．