Question

18．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星．另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心，忽略地球自轉(zhuǎn)影響．
（1）求衛(wèi)星B的運(yùn)行周期；
（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上且B、A同側(cè)），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？

Answer 1

分析 研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期．
衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)衛(wèi)星B轉(zhuǎn)過的角度與衛(wèi)星A轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再一次相距最近．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，根據(jù)萬有引力和牛頓運(yùn)動定律，有：
$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{{T}_{B}}^{2}}$
在地球表面有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
聯(lián)立得：${T}_{B}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
（2）它們再一次相距最近時，一定是B比A多轉(zhuǎn)了一圈，有：
ω_Bt-ω₀t=2π
其中${ω}_{B}=\frac{2π}{{T}_{B}}$得：
t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}-{ω}_{0}}$
答：（1）衛(wèi)星B的運(yùn)行周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）至少經(jīng)過$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$時間，它們再一次相距最近．

點(diǎn)評 本題考查萬有引力定律和圓周運(yùn)動知識的綜合應(yīng)用能力．
向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．