Question

7．如圖所示，AB為半徑R=0.8m的1/4光滑圓弧軌道，下端B恰與平板小車(chē)右端平滑對(duì)接．小車(chē)質(zhì)量 M=3kg．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1kg的小滑塊，由軌道頂端無(wú)初速釋放，滑到B端后沖上小車(chē)．滑塊與小車(chē)上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，地面光滑．最后滑塊與小車(chē)一起以1m/s的速度在水平面上勻速運(yùn)動(dòng)．試求：（g=10m/s² ）
（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道的支持力；
（2）小車(chē)的最短長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出滑塊到B端的速度，由牛頓第二定律求出支持力．
（2）滑塊滑上小車(chē)后，由能量守恒定律求小車(chē)的最短長(zhǎng)度L．或根據(jù)牛頓第二定律分別求出滑塊和小車(chē)的加速度，由運(yùn)動(dòng)式求出兩者速度相同經(jīng)過(guò)的時(shí)間，確定兩者的運(yùn)動(dòng)情況．再求解．

解答 解：（1）小滑塊在$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道過(guò)程中，由機(jī)械能守恒得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在B點(diǎn)，對(duì)小滑塊，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立兩式，代入數(shù)值得：F_N=3mg=30N
（2）（法一）當(dāng)小滑塊滑上小車(chē)后，對(duì)滑塊和小車(chē)組成的系統(tǒng)，由能量轉(zhuǎn)化和守恒，得滑塊和小車(chē)之間產(chǎn)生的熱為：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）v{′}^{2}$=μmgL     
解得小車(chē)的最短長(zhǎng)度為：L=2m
（法二）當(dāng)小滑塊滑上小車(chē)后，由牛頓第二定律，得對(duì)小滑塊有：-μmg=ma，
得：a=3m/s²
經(jīng)時(shí)間t兩者達(dá)到共同速度v′，則有：v′=v-a₁t
代入數(shù)據(jù)得：t=1s
滑塊相對(duì)小車(chē)的位移為：
L=x_滑-x_車(chē)=$\frac{v+v′}{2}t$-$\frac{v′}{2}t$=2m
（法三）小滑塊：-fx_滑=$\frac{1}{2}$mv′²-$\frac{1}{2}$mv² …①
小車(chē)：fx_車(chē)=$\frac{1}{2}$Mv′²…②
又：L=x_滑-x_車(chē)
解得：L=2m
答：（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)，軌道的支持力是30N；
（2）小車(chē)的最短長(zhǎng)度L是2m．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵之處在于分析滑塊和小車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況，知道牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合是研究滑塊在小車(chē)上滑動(dòng)問(wèn)題最基本的方法，其關(guān)鍵是求加速度．要注意摩擦生熱Q=f△x，△x是相對(duì)位移．