Question

如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m，帶+q電量的粒子在BC邊上的M點(diǎn)以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC．為了使該粒子能在AC邊上的N點(diǎn)垂直于AC邊飛出該三角形，可在適當(dāng)?shù)奈恢眉右粋�(gè)垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)也是正三角形的區(qū)域內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力，試求：
（1）畫出正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的邊長(zhǎng)最小時(shí)的磁場(chǎng)區(qū)域及粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡．
（2）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．
（3）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系可求解粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及正三角形區(qū)域的最小邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）由洛倫茲力提供向心力得：qvB=

mv2

r

，
且周期T=

2πr

v

T=

2πr

v

=

2πm

qB

，
得軌道半徑r=

mv

qB

，
周期：T=

2πm

qB

由題意知，粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)應(yīng)該先向左偏轉(zhuǎn)，不可能直接在磁場(chǎng)中由M點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，當(dāng)粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)和剛離開磁場(chǎng)時(shí)，其速度方向應(yīng)該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑，如圖作出

（2）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧GDEF，圓弧在G點(diǎn)與初速度方向相切，在F點(diǎn)與射出的速度方向相切，畫出三角形abc，其與圓弧在D、E點(diǎn)相切，并與圓O交與F、G兩點(diǎn)，即為所求最小磁場(chǎng)區(qū)域，由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，∠FOG=60°該粒子在此磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：
t=

5

6

T=

5πm

3qB

；
（3）aH為底邊cb上的高，aH=aO+OH=2r+rcos30°
則正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)為：L=

aH

cos30°

=

2r+rcos30°

cos30°

，
解得L=

mv

qB

(

4 3

3

+1)
答：（1）磁場(chǎng)區(qū)域及粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如上圖．（2）該粒子在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

5πm

qB

；（3）該正三角形區(qū)域磁場(chǎng)的最小邊長(zhǎng)

mv

qB

(

4 3

3

+1)；

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意正確的畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，利用幾何關(guān)系求解，側(cè)重于考查能力，有一定的難度．