Question

20．半徑為R的水平圓臺(tái)可繞通過圓心O的豎直光滑細(xì)軸CC′轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示．圓臺(tái)上沿相互垂直的兩個(gè)半徑方向刻有槽，質(zhì)量為m_A的物體A放在一個(gè)槽內(nèi)，A與槽底間的靜摩擦因數(shù)為μ₀，質(zhì)量為m_B的物體B放在另一個(gè)槽內(nèi)，此槽是光滑的．AB間用一長(zhǎng)為l（l＜R）且不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過細(xì)軸相連．設(shè)物體A與槽的側(cè)面之間沒有作用力，試求：
（1）當(dāng)圓臺(tái)做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，A物體與圓盤之間剛好沒有摩擦力且A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)時(shí)，則A到圓心的距離x為多大？此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω應(yīng)為多大？
（2）當(dāng)圓臺(tái)做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)且A物體與圓臺(tái)有摩擦?xí)r轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω和A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)AB兩個(gè)物體相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止且恰無摩擦力時(shí)，角速度相等，由繩子拉力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解；
（2）分A有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢(shì)和有沿半徑向里滑動(dòng)的趨勢(shì)兩種情況，分別對(duì)A和B，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）設(shè)OA=x，繩上張力為F，當(dāng)相對(duì)于轉(zhuǎn)盤靜止且恰無摩擦力時(shí)，
對(duì)A：$F={m_A}{ω^2}x$，
對(duì)B：$F={m_B}{ω^2}（l-x）$
即：${m_A}{ω^2}x={m_B}{ω^2}（l-x）$，
解之，得$x=\frac{m_B}{{{m_A}+{m_B}}}l$．此時(shí)，ω可任取．
（2）當(dāng)$\frac{m_B}{{{m_A}+{m_B}}}l＜x≤l$時(shí)，A有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢(shì)，受到的靜摩擦力沿半徑指向圓心．對(duì)A：$F+{μ_0}{m_A}g≥{m_A}{ω^2}x$，對(duì)B：$F={m_B}{ω^2}（l-x）$
解之，得：$ω≤\sqrt{\frac{{{μ_0}{m_A}g}}{{（{m_A}+{m_B}）x-{m_B}l}}}$
當(dāng)$0≤x＜\frac{m_B}{{{m_A}+{m_B}}}l$時(shí)，A有沿半徑向里滑動(dòng)的趨勢(shì)，受到的靜摩擦力沿半徑背向圓心．對(duì)A：$F-{μ_0}{m_A}g≤{m_A}{ω^2}x$，對(duì)B：$F={m_B}{ω^2}（l-x）$
解之，得：$ω≤\sqrt{\frac{{{μ_0}{m_A}g}}{{{m_B}l-（{m_A}+{m_B}）x}}}$
答：（1）當(dāng)圓臺(tái)做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，A物體與圓盤之間剛好沒有摩擦力且A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)時(shí)，則A到圓心的距離x為$\frac{{m}_{B}}{{m}_{A}+{m}_{B}}l$，此時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω可取任意值；
（2）當(dāng)圓臺(tái)做勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)且A物體與圓臺(tái)有摩擦?xí)r轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω和A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件為當(dāng)$\frac{m_B}{{{m_A}+{m_B}}}l＜x≤l$時(shí)$ω≤\sqrt{\frac{{μ}_{0}{m}_{A}g}{（{m}_{A}+{m}_{B}）x-{m}_{B}l}}$，當(dāng)$0≤x＜\frac{m_B}{{{m_A}+{m_B}}}l$時(shí)$ω≤\sqrt{\frac{{μ}_{0}{m}_{A}g}{{m}_{B}l-（{m}_{A}+{m}_{B}）x}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題通過連接體考查牛頓第二定律、向心力公式及摩擦力，解題時(shí)要注意兩物體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同，同時(shí)要注意兩小球繩子的拉力相同，而拉力與摩擦力共同充當(dāng)向心力，找好臨界值才能正確求解本題，本題難度較大．