Question

7．如圖所示，有一個質(zhì)量為m=1kg的小球，從斜面上的A點以一定的初速度水平拋出，到達圓弧B點時，恰好沿B點的切線方向，進入固定在水平地面上豎直放置的半徑為R=0.4m的光滑圓弧軌道，最后小球剛好能過最高點D．B點和圓弧圓心O的連線OB與豎直方向的半徑OC的夾角θ=60°，不計空氣阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球到達D點時的速度大�。�
（2）小球水平拋出的初速度的大��；
（3）小球在平拋運動過程中，離斜面的最遠距離（計算結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）小球剛好能過最高點D，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出D點的速度．
（2）小球在光滑圓弧軌道上運動的過程中，遵守機械能守恒定律，由此定律可求得B點的速度．根據(jù)B點的速度沿B點的切線方向，將B點的速度進行分解可求得平拋運動的初速度．
（3）設(shè)斜面的傾角為α，根據(jù)tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$，求出α．當小球的速度平行于斜面時離斜面最遠．由速度時間公式求出時間．將小球的平拋運動分解到垂直于斜面和平行于斜面兩個方向，由分位移公式求解離斜面的最遠距離．

解答 解：（1）在D點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
則有：v_D=$\sqrt{gR}$=2m/s
（2）小球從B運動到D的過程，由機械能守恒定律得：
mgR（1+cos60°）+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
則得：v_B=4m/s
設(shè)小球水平拋出的初速度的大小為v₀．
據(jù)題，小球到達圓弧B點時恰好沿B點的切線方向，速度與水平方向的夾角為60°．
則有：v₀=v_Bcos60°=2m/s
（3）小球經(jīng)過B點時，豎直分速度為：
v_y=v_Bsin60°=2$\sqrt{3}$m/s
設(shè)斜面的傾角為α，根據(jù)tanα=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$=$\frac{{v}_{y}}{2{v}_{0}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
由數(shù)學(xué)知識得：cosα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
設(shè)小球從拋出經(jīng)過時間T時離斜面最遠．此時小球的速度與斜面平行．
則 gT=v₀tanα
可得 T=$\frac{\sqrt{3}}{10}$s
將小球的平拋運動分解到垂直于斜面和平行于斜面兩個方向，垂直于斜面方向的分初速度為 v₀sinα，分加速度大小為 gcosα
則離斜面的最遠距離為：
S=v₀sinαT-$\frac{1}{2}gcosα{•T}^{2}$
聯(lián)立解得：S=$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m
答：（1）小球到達D點時的速度大小是2m/s；
（2）小球水平拋出的初速度的大小是2m/s；
（3）小球在平拋運動過程中，離斜面的最遠距離是$\frac{3\sqrt{7}}{70}$m．

點評 本題是抓住圓周運動最高點的臨界條件：重力等于向心力，運用運動的分解法求平拋運動的時間和離斜面最遠的距離．平拋運動的分解法有兩種，兩種都需要知道．