Question

1．一組太空人乘太空穿梭機(jī)S，去修理位于離地球表面為h的圓形軌道上的哈勃太空望遠(yuǎn)鏡H，機(jī)組人員使穿梭機(jī)S進(jìn)入與H相同的軌道并關(guān)閉推動(dòng)火箭，而望遠(yuǎn)鏡則在穿梭機(jī)前方數(shù)公里處，如圖所示．已知地球表面附近的重力加速度為g，地球半徑為R．則：
（1）求軌道上的重力加速度大��；
（2）求哈勃望遠(yuǎn)鏡在軌道上運(yùn)行的速率和周期；
（3）要追上望遠(yuǎn)鏡，穿梭機(jī)首先應(yīng)進(jìn)入半徑較小的軌道，為此穿梭機(jī)必須減小其原有速率，這是為什么？進(jìn)入低軌道后穿梭機(jī)能獲得較大的角速度，這又是為什么？（均需寫出必要的判斷公式）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=mg′$，以及地球表面上的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，化簡(jiǎn)得到加速度的表達(dá)式即可；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力即可求出；
（3）衛(wèi)星在原有軌道上加速做離心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑增大，在原有軌道上減速做向心運(yùn)動(dòng)，軌道半徑減�。�

解答 解：（1）由mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得地球表面的重力加速度為g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
軌道處的重力角速度g′則有：$mg′=G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$
聯(lián)立以上二式得：g′=$（\frac{R}{R+h}）^{2}g$
（2）又：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$=$R•\sqrt{\frac{g}{R+h}}$
周期：T=$\frac{2πr}{v}=2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$=$\frac{2π}{R}•\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$
（3）先減速減小半徑進(jìn)入較小的軌道，后加速以較大的角速度追上望遠(yuǎn)鏡．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭機(jī)要進(jìn)入較低軌道必須有萬有引力大于穿梭機(jī)做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故當(dāng)v減小時(shí)，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才減小，這時(shí)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭機(jī)進(jìn)入半徑較小的軌道，之后的速度逐漸增大，追上望遠(yuǎn)鏡后，再增大速度，進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡的軌道即可．
答：（1）軌道上的重力加速度大��；
（2）哈勃望遠(yuǎn)鏡在軌道上運(yùn)行的速率和周期；
（3）．由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$知，穿梭機(jī)要進(jìn)入較低軌道必須有萬有引力大于穿梭機(jī)做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力，故當(dāng)v減小時(shí)，$m\frac{{v}^{2}}{r}$才減小，這時(shí)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}＞m\frac{{v}^{2}}{r}$，穿梭機(jī)進(jìn)入半徑較小的軌道，之后的速度逐漸增大，追上望遠(yuǎn)鏡后，再增大速度，進(jìn)入望遠(yuǎn)鏡的軌道即可．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵抓住萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力，列式求解出加速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算．