Question

2．如圖所示，一足夠長(zhǎng)的水平傳送帶以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量均為m的小物塊P和小物塊Q由通過(guò)滑輪組的輕繩連接，輕繩足夠長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)．某時(shí)刻物塊P從傳送帶左端以速度2v₀沖上傳送帶，P與定滑輪間的繩子水平．已知物塊P與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，重力加速度為g，不計(jì)滑輪的質(zhì)量與摩擦．求：
（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊P、Q的加速度大小之比；
（2）物塊P剛沖上傳送帶到右方最遠(yuǎn)處的過(guò)程中，PQ系統(tǒng)機(jī)械能的改變量；
（3）若傳送帶以不同的速度v（0＜v＜2v₀）勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v取多大時(shí)物塊P向右沖到最遠(yuǎn)處時(shí)，P與傳送帶間產(chǎn)生的摩擦熱最小？最小值為多大？

Answer 1

分析 （1）由圖可知，P與Q的位移關(guān)系始終滿足P的位移是Q的位移的2倍，結(jié)合：$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}$求得加速度的比值；
（2）分別以P與Q為研究的對(duì)象，由牛頓第二定律求出加速度，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出P與傳送帶的速度相等之前的位移；當(dāng)P的速度與傳送帶相等后，分析摩擦力與繩子的拉力的關(guān)系，判斷出P將繼續(xù)減速，求出加速度，在結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出位移，最后由功能關(guān)系求出機(jī)械能的該變量；
（3）結(jié)合（2）的解答過(guò)程，寫出物體P相對(duì)于傳送帶的位移的表達(dá)式以及Q=fx_相對(duì)，然后即可求出產(chǎn)生的最小的熱量．

解答 解：（1）設(shè)P的位移、加速度大小分別為s₁、a₁，Q的位移、加速度大小分別為s₂、a₂，
因s₁=2 s₂，故a₁=2a₂$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$
（2）對(duì)P有：μmg+T=ma₁
對(duì)Q有：mg-2T=ma₂
得：T=0.35mg，a₁=0.6g
P先減速到與傳送帶速度相同，設(shè)位移為x₁，
${x}_{1}=\frac{（2{v}_{0}）^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{5{v}_{0}^{2}}{2g}$
共速后，由于f=μmg＜$\frac{1}{2}$mg，P不可能隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)向右減速，
設(shè)此時(shí)P加速度為a₁′，Q的加速度為${a}_{2}′=\frac{1}{2}{a}_{1}′$
對(duì)P有：T-μmg=ma₁′，對(duì)Q有：mg-2T=ma₂’解得：a₁′=0.2g  
設(shè)減速到0位移為x₂，${x}_{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}′}=\frac{5{v}_{0}^{2}}{2g}$ 
PQ系統(tǒng)機(jī)械能的改變量等于摩擦力對(duì)P做的功，△E=-μmgx₁+μmgx₂=0
（3）第一階段P相對(duì)皮帶向前，相對(duì)路程：${S}_{1}=\frac{（2{v}_{0}-v）^{2}}{2{a}_{1}}$ 
第二階段相對(duì)皮帶向后，相對(duì)路程：${S}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}′}$ 
摩擦產(chǎn)生的熱Q=μmg（S₁+S₂）=$\frac{5}{6}m（{v}^{2}-v{v}_{0}+{v}_{0}^{2}）$ 
當(dāng)$v=\frac{1}{2}{v}_{0}$時(shí)，
摩擦熱最小$Q=\frac{5}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小物塊P、Q的加速度大小之比是2：1；
（2）物塊P剛沖上傳送帶到右方最遠(yuǎn)處的過(guò)程中，PQ系統(tǒng)機(jī)械能的改變量；
（3）若傳送帶以不同的速度v（0＜v＜2v₀）勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)$v=\frac{1}{2}{v}_{0}$時(shí)物塊P向右沖到最遠(yuǎn)處時(shí)，P與傳送帶間產(chǎn)生的摩擦熱最小，最小值為$\frac{5}{8}m{v}_{0}^{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律及功能關(guān)系，要注意正確掌握功能的轉(zhuǎn)化關(guān)系，明確熱量等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積．