Question

1．如圖所示，兩條平行金屬軌道相距L=1m，它有與水平方向成θ=30°的光滑傾斜導(dǎo)軌和粗糙的水平導(dǎo)軌兩部分，水平導(dǎo)軌處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，傾斜導(dǎo)軌ef與ab間有垂直于斜面向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁=1T．現(xiàn)將兩金屬棒MN和PQ分別置于水平導(dǎo)軌上和傾斜導(dǎo)軌的磁場區(qū)內(nèi)，由靜止釋放，棒PQ沿導(dǎo)軌下滑，棒MN始終靜止．已知兩棒的質(zhì)量均為m=0.1kg，電阻均為R=2Ω，棒MN與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，兩棒均與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，傾斜導(dǎo)軌有磁場區(qū)與無磁場區(qū)均足夠長，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻，重力加速度為g=10m/s²．
（1）求棒PQ下滑最大速度的大小；
（2）求棒PQ由靜止釋放到速度達(dá)到最大過程中，通過棒MN某橫截面的電荷量q=0.5C，求該過程整個(gè)回路中產(chǎn)生的總焦耳熱；
（3）若將棒PQ在ef上方與ef相距x的地方由靜止釋放，要使MN始終靜止，求水平導(dǎo)軌處磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B₂與x之間的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）PQ棒先向下做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．由法拉第定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，再由平衡條件求解最大速度．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電流的定義式結(jié)合求解棒PQ下滑的距離，再由能量守恒定律求焦耳熱．
（3）要使MN始終靜止，PQ速度最大時(shí)也必須靜止，由

解答 解：（1）設(shè)棒PQ下滑最大速度的大小為v_m．棒PQ的速度最大時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
由 E=B₁Lv_m，I=$\frac{E}{2R}$，F(xiàn)_安=B₁IL，得：
F_安=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}$
棒PQ勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)有：F_安=mgsinθ
聯(lián)立得 v_m=$\frac{2mgRsinθ}{{B}_{1}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{2×0.1×10×2×0.5}{{1}^{2}×{1}^{2}}$=2m/s
（2）棒PQ由靜止釋放到速度達(dá)到最大過程中下滑的距離為s．通過棒MN某橫截面的電荷量為：
q=$\overline{I}$t=$\frac{{B}_{1}L\overline{v}t}{2R}$=$\frac{{B}_{1}Ls}{2R}$
則有：s=$\frac{2qR}{BL}$=$\frac{2×0.5×2}{1×1}$=2m
根據(jù)能量守恒定律得整個(gè)回路中產(chǎn)生的總焦耳熱為：
Q=mgssinθ-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=0.1×10×0.5-$\frac{1}{2}$×0.1×2²=0.3J
（3）將棒PQ在ef上方與ef相距x的地方由靜止釋放，到達(dá)ef時(shí)的速度為：
v=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2gsin30°•x}$=$\sqrt{gx}$
PQ棒剛進(jìn)入磁場時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電流為：
I=$\frac{{B}_{1}Lv}{2R}$
要使MN始終靜止，則有：B₂IL≤μmg
聯(lián)立得：
B₂≤$\frac{2μmgR}{{B}_{1}{L}^{2}\sqrt{gx}}$=$\frac{2×0.5×0.1×10×2}{1×{1}^{2}×\sqrt{10x}}$=$\sqrt{\frac{2}{5x}}$
答：（1）棒PQ下滑最大速度的大小是2m/s．
（2）該過程整個(gè)回路中產(chǎn)生的總焦耳熱是0.3J．
（3）水平導(dǎo)軌處磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B₂與x之間的關(guān)系為B₂≤$\sqrt{\frac{2}{5x}}$．

點(diǎn)評 本題是雙桿類型，分別研究它們運(yùn)動(dòng)過程和狀態(tài)是基礎(chǔ)，運(yùn)用力學(xué)和電路、電磁感應(yīng)的規(guī)律研究MN棒，對于感應(yīng)電荷量，要熟悉一般表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R+r}$，知道電量可求導(dǎo)體棒的位移．